（2）若AE＝2，CF＝3，求△DEF的面积．
【分析】（1）证明Rt△DGF和Rt△DCF和Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），得AE＝EG，FG＝CF，相加可得结论；
（2）设正方形的边长为x，根据勾股定理列方程为：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得x＝6，即DG＝6，根据三角形面积公式可得结论． 【解答】（1）证明：过D作DG⊥EF于G，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD， ∵ED平分∠AEF， ∴AD＝DG， ∴DG＝CD，
在Rt△DGF和Rt△DCF中， ∵
，
∴Rt△DGF≌Rt△DCF（HL）， ∴CF＝FG，
同理得Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）， ∴AE＝EG，
∴EF＝EG+FG＝AE+CF；
（2）解：设正方形的边长为x，则BE＝x﹣2，BF＝x﹣3， 由（1）知：AE＝EG＝2，CF＝FG＝3，
第17页（共20页）
∴EF＝5，
Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2， （x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得：x＝6或﹣1（舍）， ∴DG＝AD＝6， ∴S△DEF＝
＝×5×6＝15．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积公式、角平分线的性质和勾股定理等，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 24．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，M分别是AD，AB边的中点，∠EMB的角分线交CD于N，G是线段MN上的动点． （1）求证：GE＝GB．
（2）在线段BM上的点F满足∠EGF＝60°（如图2），求证：GE＝GF． （3）在（2）的情况下，若菱形边长为6，BF＝2，求MG．
【分析】（1）如图1中，只要证明△GME≌△GMB（SAS）即可解决问题． （2）想办法证明GE＝GB，GB＝GF即可解决问题．
（3）如图2﹣1中，连接EF，在MG上截取MK，使得MK＝MF．证明△MFE≌△KFG（SAS），推出EM＝GK，推出MG＝MK+KG＝MF+EM，由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
第18页（共20页）
∴AB＝AD，
∵M是AB的中点，E是AD的中点， ∴AE＝AM， ∵∠A＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴∠AME＝60°，AM＝EM＝BM， ∵MN平分∠EMB， ∴∠GME＝∠GMB＝60°， ∵MG＝MG，
∴△GME≌△GMB（SAS）， ∴GE＝GB．
（2）证明：如图2中，
由（1）可知：△GME≌△GMB， ∴∠GEM＝∠GBM，
∵∠EGF＝60°，∠EMF＝120°， ∴∠GEM+∠GFM＝180°， ∵∠GFM+∠GFB＝180°， ∴∠GFB＝∠EGM， ∴∠GFB＝∠GBF， ∴GF＝GB， ∴GE＝GF．
（3）解：如图2﹣1中，连接EF，在MG上截取MK，使得MK＝MF．
第19页（共20页）
∵∠FMK＝60°，MF＝MK， ∴△MFK是等边三角形， ∵GE＝GF，∠EGF＝60°， ∴△GEF是等边三角形，
∴∠MFK＝∠EFG＝60°，FM＝FK，FE＝FG， ∴∠MFE＝∠KFG， ∴△MFE≌△KFG（SAS）， ∴EM＝GK，
∴MG＝MK+KG＝MF+EM， ∵AB＝6，BF＝2， ∴AF＝6﹣2＝4， ∵AM＝MB＝3，
∴EM＝AM＝3，MF＝AF﹣AM＝4﹣3＝1， ∴GM＝EM+FM＝3+1＝4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第20页（共20页）
相关推荐：
loading