（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
yCPBxOA
（第23题图）
【思路分析】本题一道阅读理解题，解题的关键是认真审题，弄清题意，弄清好点的定义，正确画出图形．（1）根据m的取值，求满足条件的好点个数．（2）根据m的取值，求满足条件的好点坐标．（3）根据点P在正方形中的位置，确定m的取值范围，根据好点的个数确定抛物线的位置（抛物线与线段EF有交点），进而讨论的m取值范围． 【解题过程】解：（1）当m＝0时，二次函数的表达式为y＝－x2＋2，画出函数图象（图1）， ∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．
yCPxO图1AO图2AxO图3EAyPBCyBPFxBC
（2）当m＝3时，二次函数的表达式为y＝－（x－3）2＋5，画出函数图象（图2）， ∵当x＝1时，y＝1；当x＝4时，y＝4；
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）． （3）∵抛物线顶点P的坐标为（m，m＋2）， ∴点P在直线y＝x＋2上．
由于点P在正方形内 ，则0＜m＜2． 如图3，点E（2，1），F（2，2）．
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）． 当抛物线经过点E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝1， 5?135?13，m2＝（舍去）． 22当抛物线经过点F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝2， 解得m1＝1，m2＝4（舍去）．
解得m1＝5?13＜m＜1时，点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 2【知识点】阅读理解题；二次函数的图象与性质；一次函数表达式；一元二次方程的解法；正方形的性质；
∴当
6.（2019四川达州， 24，11分） 箭头四角形 模型规律
如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用
（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________
.
②如图3，∠ABE、 ∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠BFC=__________.
③如图4，BO1、CO2分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O1，O2，O3，…，O2018. 已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=______度
（1）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O是四边形ABCD内的一点，且 OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD是菱形.
【思路分析】（1）①根据箭头四角形的规律即可； ②由∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+
1∠2ABC+
1111∠ACB，再把∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB两边都乘以，得到∠ABC+∠ACB=35°即可求2222得∠BFC的值
（2）可以先延长AO，再连接OC，利用OA=OB=OD，先证得∠BOD=2∠BAD，而∠BCD=2∠BAD可得∠BOD=∠BCD，再证△BOC≌△DOC，可得∠OBC=∠ODC，从而得到四边形OBCD为平行四边形，OB=OD，有一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可证得四边形OBCD为菱形 【解题过程】（1）①∵∠A+∠B+∠C=??， ∠D+∠E+∠F=?? ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2??
②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+∠BEC=120°∠BAC=50° ∴
11∠ABC+∠ACB 221111∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB 222211∠ABC+∠ACB 22∴60°=25°+
∴
11∠ABC+∠ACB=35° 2211∠ABC+∠ACB 22∴∠BFC=∠A+
＝50°＋35° ＝85°
∴∠BFC＝85° ③
1000?1019?m?n 20192019（2）证明：(l)如图，延长AO到E，∵OA＝OB．∴∠ABO＝∠BAO.又
∵∠BOE ＝∠ABO＋∠BAO.
∴∠BOE＝2∠BAO，同理∠DOE＝2∠DAO.
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD ＝ 2∠BAD. ∵∠BCD= 2∠BAD，∴∠BOD ＝∠BCD.
(2)如图，连接OC，∴OB＝ OD， CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC,∴∠OBC ＝∠ODC． 又∵∠BOD＝∠BCD,∴四边形OBCD足平行四边形．∵OB= OD，∴四边形OBCD是菱形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，平行四边形、菱形的判定
7. ．(2019山东枣庄,21,8分)对于实数a、b，定义关于的一种运算：a?b＝2a+b.例如3?4＝2×3+4＝10. (1)求4?(－3)的值；
(2)若x?(－y)＝2，(2y)?x＝－1，求x+y的值.
【思路分析】(1)根据题目给出的运算法则，进行运算即可;(2)根据法则可得关于x和y的二元一次方程组,解之可得x和y的值,进而求得x+y的值.
【解题过程】(1)根据题意得：4?(－3)＝2×4+(－3)＝5;
(2)∵x?(－y)＝2，(2y)?x＝－1,∴2x+(－y)＝2,2×2y+x＝－1,解这个二元一次方程组,得,x＝
74,y＝?,991∴x+y＝
3【知识点】新定义运算,二元一次方程组
8. （2019山东省济宁市，题号21，分值8） 阅读下面材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f(x1) ＜ f(x2)，则称f(x)是增函数； （2）若x1＜x2，都有f(x1) ＞ f(x2)，则称f(x)是减函数．
例题：证明函数f(x)＝
6(x＞0)是减函数． x666x2?6x16?x2?x1???. 证明：设0＜x1＜x2，f(x1) － f(x2)＝＝x1x2x1x2x1x2∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0． ∴
6?x2?x1?6＞0，即f(x1) — f(x2)＞0．∴f(x1) ＞ f(x2)，∴函数f(x)＝(x＞0)是减函数．
x1x2x1171f?1???1?0,f?2???2??????????x ?x（＜0），2224?1?2????x1?x（x＜0）是________函数（填“增”或“减”）； x2根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f?x??（1）计算：f(－3)＝________， f(－4)＝________； （2）猜想：函数f?x??（3）请仿照例题证明你的猜想．
【思路分析】模仿例题代入计算；根据分式的加减法法则将分式通分，之后进行因式分解，根据x1、x2的取值范围，判断出结果的正负性，从而得到函数的增减性． 【解题过程】 （1）f??3??1??3?2???3???26163 ,f??4????4????2916??4?（2）增；
（3）证明：设x1＜x2＜0，
?1??1?1x22?x121?x1?x2 f(x1) － f(x2)＝?2?x1???2?x2??2?2?x1?x2?22xxxxxx?1??2?1212x2?x1??x2?x1????x12x22?x2?x1?x2?x1??x2?x1?1???x12x22．
∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x12x22＞0，x2＋x1－1＜0， ∴
?x2?x1??x2?x1?1?x12x22＜0，即f(x1)－f(x2)＜0．∴f(x1) ＜ f(x2)， ∴函数f?x??1?x是增函数． 2x【知识点】分式的通分；因式分解；函数的增减性判断
9.（2019甘肃天水，25，10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． 试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【思路分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【解题过程】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2＝AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
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