π
8．(文)如图⊙C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆
3
C内的概率为( )
1A. 62C. 3[答案] C
[解析] 设OA＝OB＝R，圆C半径为r， 则
π
＝sin，∴R＝3r，l＝Rθ＝πr. R－r6
2
2
1
B. 33D. 4
rπrπr2∴P＝＝＝.
113lRπr·3r22
x≥0，y≥0，??
(理)设不等式组 ?x≤2，
??y≤2
所表示的平面区域为A，现在区域A中任意丢进
1
一个粒子，则该粒子落在直线y＝x下方的概率为( )
2
1A. 31C. 2[答案] B
[解析] 本题是线性规划问题，数形结合可解．如图所示，可行域为正方形，易求得面1
积比为.解决线性规划的实质是用数形结合的方法解决问题，判断可行域可以采用取特殊点
4的方法．
1B. 43D. 4
21
二、填空题
9．(文)一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值构成集合A，则A＝________.
[答案] {－11,3,17}
25＋x[解析] 设这个数为x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x725＋x＝－11.若2 725＋x＝＋2，x＝17，所有可能值为－11,3,17. 7 (理)(2013·银川六校联考)若(x－2)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)＋…＋a9(x－1)，则 9 2 9 a8＝________. [答案] －9 [解析] 由题知，(x－2)＝[(x－1)－1]，则[(x－1)－1]的展开式的通项是Tr＋1＝C9(x－1) 9－r9 9 9 r·(－1)，令r＝1，则T2＝C9(x－1)·(－1)＝a8(x－1)，则a8＝C9·(－1)＝－9. r181811 10．(文)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________． [答案] 10.5 10.5 [解析] 这10个数的中位数为这10个数的平均数为10. 要使总体方差最小． 即(a－10)＋(b－10)最小． 即a＋b－20(a＋b)＋200最小， ∵a>0，b>0，∴a＋b≥ 2 2 2 2 2 2 a＋b2 ＝10.5. a＋b2 2 (当a＝b时取等号)， ∵a＋b＝21，∴当a＝b＝10.5时，取得最小值． (理)若a与b是异面直线，则称(a，b)为一对异面直线，过四棱锥任意两个顶点的直线共有10条，其中异面直线共有________对． [答案] 12 22 [解析] 底面上任意两条直线都不是异面直线，任意两条侧棱也都不是异面直线，故一对异面直线中必有一条侧棱和底面上的一条直线，已知一条侧棱可构成3对异面直线，故共有12对异面直线． 三、解答题 11．(文)(2013·北京东城模拟)某中学高中学生有900名，学校要从中选出9名同学作为国庆60周年庆祝活动的志愿者．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生．为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取． (1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数； (2)若再从这9名同学中随机地抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一学生的概率； (3)在(2)的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率． [解析] (1)样本容量与总体容量的比为9900＝1100， 则高一、高二、高三应分别抽取的学生为 111 400×＝4(人)，300×＝3(人)，200×＝2(人)． 100100100 4×31(2)设“抽到的这2名同学都是高一的学生为事件A”，则P(A)＝＝. 9×86 4×3＋4×2＋3×213 (3)设“抽到的这2名同学不是同一年级为事件B”，则P(B)＝＝. 118×9×821 (理)(2013·霍邱二中模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列{an}， 2 ??1 使得an＝? ?－1 ? 当第n次出现正面时当第n次出现反面时 ，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N)． * (1)求S4＝2的概率； (2)若前两次均出现正面，求2≤S6≤4的概率． 1313 [解析] (1)S4＝2，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为P1，则P1＝C4()·＝ 22141 4×()＝. 24 (2)6次中前两次均出现正面，要使2≤S6≤4，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为P2. 1521212313 则P2＝C4()()＋C4()·＝. 22228 12．(文)(2013·北京西城模拟、眉山二诊)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 23 等级 频率 1 0.05 2 3 0.15 4 0.35 5 m n (1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n； (2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率． [解析] (1)由频率颁布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1， 即m＋n＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 2 得n＝＝0.1. 20 所以m＝0.45－0.1＝0.35. (2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1、x2、x3，等级为5的零件有2个，记作 y1、y2， 从x1、x2、x3、y1、y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为： (x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3， y2)，(y1，y2)共计10种． 记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”，则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4个． 4 概率为P(A)＝＝0.4. 10 (理)(2013·东北三校模拟)某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)之间(单位：元)． (1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； (3)若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月收入在[2500,3500)的居民数X的分布列和数学期望． [解析] (1)依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为 24 0.0004×500＝0.2. (2)频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x，则0.0002×500＋0.0004×500＋0.0005×(x－2000)＝0.5， 解得x＝2400. (3)居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005＋0.0003)×500＝0.4. 由题意知，X～B(3,0.4)， 因此P(X＝0)＝C3×0.6＝0.216，P(X＝1)＝C3×0.6×0.4＝0.432，P(X＝2)＝C3 ×0.6×0.4＝0.288，P(X＝3)＝C3×0.4＝0.064， 故随机变量X的分布列为 2 3 3 0 3 1 2 2 X P 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 X的数学期望为E(X)＝0×0.216＋1×0.432＋2×0.288＋3×0.064＝1.2. 13．(文)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下： 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据； (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； (3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由． [解析] (1)作出茎叶图如下： 甲 9 7 2 2 5 7 8 9 乙 5 0 5 0 5 (2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)， (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)， (79,95)(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)， (95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)， (87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)． 基本事件总数n＝25. 记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件： (82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)， 25
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