（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP?平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）??45?；（2）??【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和直线的斜向量，进而利用向量的夹角公式得到线面角的求解．
（2）假设存在点满足题意，然后利用向量的垂直关系，得到点的坐标． 解：（1）B1作B1O?BC于O， ∵侧面BCC1B1?平面ABC，
24,?C1P?． 33
则A(?3,0,0),B(0,?1,0),C(0,1,0),A,3),B1(0,0,3),C1(0,2,3) 1(?3,1uuurrn?(0,0,1) ∴CA,又底面的法向量ABC?(?3,0,3)1uuurrCA1·n2rr?,∴??45? 设直线A1C与底面ABC所成的角为?，则sin??uuu2CA1?n所以，直线A1C与底面ABC所成的角为45?．
uuuruuuurAC0≤?≤1,则 （2）设在线段11上存在点P，设C1P=?C1A1，
uuuruuuruuuuruuuruuurC1P=?（?3，?1,0），CP=CC1+C1P?（?3?，1??,3）,BC0,1,?3) 1=（rruuuurm?B1C?y?3z?0rruuu设平面B1CP的法向量m?(x,y,z),则{m?CP??3?x?（1??）y?3z?0
令z?1,则y?3,x?2????rruuurn·AC?3x?y?0rruuuu设平面ACC1A1的法向量n?(x,y,z)，则{n ·CC??y?3z?012??r,?m?(,3,1).
令z?1,则y??3,x?1,?n?(1,?3,1). 要使平面B1CP?平面ACC1A1，则m?n?(rrr2???,3,1)?(1,?3,1)?2????2?0
24???,?C1P?
33考点：本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的运用．
点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题．
?2t?x?4??218．已知直线l的参数方程为? (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建
?y?2t?2?立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点． (1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值． 【答案】（1）(x－2)2＋y2＝4；22；（2）2＋22. 【解析】 【分析】
（1）圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程代入圆C的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；
（2）要求△ABP的面积的最大值，只需求出点P到直线l距离的最大值，将点P坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解. 【详解】
(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2－4x＝0， 所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. 设A，B对应的参数分别为t1，t2. 将直线l的参数方程代入圆C：
(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋22t＝0， 解得t1＝0，t2＝－22. 所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1－t2|＝22.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0. 圆C的参数方程为??x?2?2cos? (θ为参数)，
y?2sin??可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)， 则点P到直线l的距离 d＝|2?2cos??2sin??4|??|2cos(??)?2|，
42当cos(???4)＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋2. 1×22×(2＋2)＝2＋22， 2所以S△ABP＝
即△ABP的面积的最大值为2＋22. 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题. 19．已知函数f(x)?42?n2?5n． ，数列?an?的前n项和为Sn，且满足2Sn?f(an)x?1（1）求a1,a2,a3,a4的值；
（2）猜想数列?an?的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】（1）a1?2,a2?3,a3?4,a4?5（2）猜想an?n?1．见解析 【解析】 【分析】
2)，由此求得a2,a3,a4的值. （1）先求得a1的值，然后根据已知条件求得2an?an?1?n?2(n…（2）由（1）猜想数列?an?的通项公式为an?n?1，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】 （1）由2Sn?4?n2?5n，即2Sn?2an?n2?5n?2，① f(an)22)，② 所以a1?2，由①得2Sn?1?2an?1?(n?1)?5(n?1)?2(n…2)． ①?②，得2an?an?1?n?2(n…当n?2时，2a2?a1?1?2,a2?3； 当n?3时，2a3?a2?3?2,a3?4；
当n?4时，2a4?a3?4?2,a4?5． （2）由（1）猜想an?n?1． 下面用数学归纳法证明：
①当n?1时，由（1）可知猜想成立； ②假设n?k时猜想成立，即ak?k?1，此时
12k232Sk?2ak?k?5k?2,Sk?(k?5k?2)?ak??k，当n?k?1时，
2222k23(k?1)23Sk?1?Sk?ak?1??k?ak?1??(k?1)，
2222整理得ak?1?(k?1)?1， 所以当n?k?1时猜想成立．
综上所述，对任意n?N,an?n?1成立． 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题. 20．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是??（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N，在第一象限内曲线C上任取一点P，求四边形
2*16.
1?3cos2?OMPN面积的最大值.
x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）42. ??1；
416【解析】
分析：（Ⅰ）把??216222222整合成??3?cos??16，再利用??x?y,y??sin?就可以得21?3cos?到曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）因为P在椭圆上且在第一象限，故可设P?2cos?,4sin??，从而所求面积可用?的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.
详解：（Ⅰ）由题可变形为??3?cos??16，
222x2y2∵??x?y，?cos??x，∴x?y?3x?16，∴??1.
416222222（Ⅱ）由已知有M(2,0)，N(0,4)，设P(2cos?,4sin?)，??(0,于是由SOMPN?SVOMP?SVONP? ?4sin??4cos? ?42sin(??由??(0,?2).
11?2?4sin???4?2cos?
22?4)，
?2)得????3???(,)，于是42sin(??)?42， 4444∴四边形OMPN最大值42. 点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式??x??cos?，而极坐标方程转化为直角坐标方程
?y??sin???2?x2?y2?2的关键是利用公式?y，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生?,?cos?,?sin?以便转化.
?tan??x?另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数?来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
21．在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．
P?K2…k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的． 【解析】 【分析】
先完成列联表，计算K2的观测值，对照表格数据即可得结论 【详解】
由已知条件得2?2列联表如下： 青花病 无青花病 药物处理 25 60 未经药物处理 185 200 合计 210 260
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