级数

级数

?一、 利用liman?0判断级数?an发散

n??n?1?例1（1）判断级数?(3?n?11n)sinn13n的敛散性

解：因为sin13n~

13n?，故原级数和级数?(3?n?1131n)n13n有相同的敛散性

lim(3?n??1n)n13n?lim(1?n??13n)n?e??0，故原级数发散

?（2）?n?1n!en1nn

n解：因为limn???n?elnkn1?k?1?10lnxdx?0

n所以limn!ennnlimn(n???lnn?1)nk?1k的极限不存在故原级数发散

n??二、 利用比值判别法、根值判别法判断级数的敛散性

注意：一些常见的极限 （1）limn??nan?b?1 （2）limnn??a?bnn?max{|a|,|b|}

?例2（1）判断级数?n?1enn?n?3的敛散性

解：limnennn???n?3?e??n11?(3?)ne??1，故原级数收敛

??（2）判断级数?n?1nlnnn(lnn)的敛散性

1

(lnn)2解：limnnlnnnn??(lnn)?limenn??lnn?0?1，故原级数收敛

?（3）判断级数?n?1a?n!nann的敛散性

解：liman?1ann?1n???lim?(n?1)!n?1n??(n?1)?nnna?n!?lima(1?1n)nn???ae

当a?e，原级数发散；当a?e原级数收敛；当a?e时，由于lim数发散

?en!nnnn???0故原级

（4）?(n?1ban)（liman?a，b?0,an?0）

n??n解：limnn??an?limnn??(ban)n?limbann???ba

当b?a时，级数收敛；当b?a时，级数发散； 三、 利用等价无穷小替换判断级数的敛散性

??方法：如果an~bn，则?an和?bn有相同的敛散性

n?1n?1?ln(1?n1n?1n?)例3 (1)?n?1（??0）

解：因为ln(1?)~1n??，所以原级数和?n?11n??1有相同的敛散性

?由于??1?1，故?n?1?1n??1收敛，即原级数收敛

(2)?n?11n?nn 解：lim1nnn?n???n?1所以原级数和?n?11n有相同的敛散性，原级数发散

1

?(3)?n?1(?1)np?n?11n 解：由于

n1p?1n~1np?，故原级数和?n?1(?1)npn?1有相同的敛散性

当p?1时，级数绝对收敛；当0?p?1时，级数条件收敛

?（4）?n?11n?lnn2 解：因为

1n?lnn2?1n2?1?1lnnn2，而lim(1?n??lnnn2)?1

所以

1n?lnn2~

1n2，故原级数收敛

四、 利用比较判别法判断级数的敛散性

常用不等式lnn?n

?例4（1）?n?1?1ln3 解：因为lnn?n，所以

n1ln3n?3lnn?3n

由于?n?13n1发散，故原级数发散

?（2）?n?1?n0x1?x4dx

分析：判断被积函数的单调性，求出被积函数在积分区间内的最值 解：因为

x1?x41?x，所以?n0x1?x1dx?4?n0xdx?23?13

n2?而?n?113收敛，故原级数收敛

n2五、 利用级数的性质判断级数的敛散性

???方法：（1）?an和?bn收敛，则?(an?bn)收敛

n?1n?1n?1???（2）?an和?bn中有一个收敛，一个发散，则?(an?bn)发散

n?1n?1n?1?例5（1）?[n?12?(?1)3nn?2(?1)?nn?] （2）?[n?1sinnan1

2?1n?] (3)

?n?1(?1)nk?an2(k?0)

六、 利用泰勒公式判断级数的敛散性

(1) e?1?xx1!?x22!x?x33!???xnn!4?? (???x???)

2(2) ln(1?x)?x?x32x?x33?x4???(?1)nxn?1n?1?? (?1?x?1)

5(3) sinx?x?3!x2?5!x4????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!x2n??? (???x???)

(4) cosx?1?(5)

11?x2!?4!2????(?1)n(2n)!??? (???x???)

?1?x?x?x???x??m(m?1)x?23n (?1?x?1)

x??3(6) (1?x)?m?1?mx?

m(m?1)(m?2)2!3!m(m?1)?(m?n?1)n?x??n!m(m?1)2!3!m(m?1)?(m?n?1)n!x?2

(?1?x?1)

x??3(7) (1?x)m?1?mx?m(m?1)(m?2)

(?1?x?1)

?x??n

方法：利用泰勒公式展开找和原级数等价无穷小的级数讨论

?例6（1）?[e?(1?n?11n)]

np分析：关键是利用泰勒公式展开找和原级数等价无穷小的级数，因为 e?(1?1n)?e?ennln(1?1n)1?12n?13n2???12n?13n2???e?e13n2?e(1?ee2ne3n2)

??e(?1n12npp???)????????

[e?(1?)]np?ep2np(1?23n??)

p 由于[e?(1?

1n)]n~eppp?2n，故原级数和级数?n?11np有相同的敛散性

1