高中数学中的向量教学研究

有向线段表示. 从而将数与形紧密地结合起来，使很多几何问题的证明转化为数量的运算，因而是解决许多数学问题的有力工具.特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以将空间元素间的位置关系及度量关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，是一种重要的解决问题手段和方法,是一种理想的代数工具.

向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项数学内容的媒介.所以学习向量有助于学生弄清各个知识间的联系,掌握中学数学思想和数学方法,更深地理解数学的本质(即数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式)

1.3、向量的引入有助于学生了解现代数学与中学数学的联系

一般来说,现代数学是指19世纪30年代以后诞生的数学.非欧几何、抽象代数、集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等都是现代数学的内容.现代数学的主要特点是内容的高度抽象性.

中学数学,是指在中学数学教材和课外活动(数学竞赛等)中所包含的数学.随着中学教材的改革和更新,中学数学的内容也在不断变化和发展.

尽管现代数学的高度抽象性,是它与中学数学拉大了距离,但从数学发展的历史来看,现代数学是多级抽象的结果.它的原型和特例大都来自变量数学,变量数学的原型与特例又来自于常量数学,而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中.

中学数学的内容,是常量数学和变量数学的初步知识,是现代数学的基础,是现代数学中许多(不是全部)概念和理论的原型和特例所在.

作为现代数学中的基本表示工具---矩阵,是从向量集合到向量集合的一种特殊映射.向量是重要的数学模型.?V,??是一个群的模型，即向量对加法运算构成群；

?V,R,?,??是一个线性空间的模型，即向量对加法、实数与向量乘法构成的线性空

间；?V,,,R,?,??是一个线性赋范空间的模型，即给向量赋以长度、向量、实数对向量乘法构成线性赋范空间.因此，向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型，是理解这些数学内容的基础.在现代基础教育阶段，学生只熟悉数的运算体系是不够的，向量是不同于数的一个运算体系，向量也是一个运算对象，掌握了向量运算，就会扩充学生对“运算”概念的理解，以后再学习其他运算体系，如矩阵、微积分运算就不难理解了.

向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，通过运用向量对传统问题的分

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析，可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学的过渡奠定一个直观的数学基础.

1．4、向量的引入符合国际数学课程改革的思路

随着国际数学教育的不断发展,各国的数学课程改革也在不断深入.很多国家在不断地改革过程中把函数与微积分、概率统计、向量几何学作为高中数学的核心内容.例如：日本：高中有平面几何选修课，高三选修有少量的向量几何；美国：没有综合法的几何学，但有向量矩阵表示的几何变换；英国：没有综合法的立体几何，但有向量方法处理线面关系；法国：有少量的综合平面几何，利用向量处理立体几何图形是几何的重要内容；德国：非常艰深的数学，超过我国大学的高等数学，尽管只有不多的向量几何，却重视变换几何；俄国：以上所列国家中综合几何要求最高的，唯一列有“三垂线定理”的国家，同时要求向量几何、变换几何.总体上看，用向量处理或代替综合几何，是国际数学教育的一个特点.1899年希尔伯特的《几何学基础》的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式，以此为推动力，数学总体上在这个方面的研究几乎穷尽，而中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形，如果我们的几何教学仍停留于此,那么我们的数学教育会与国际数学教育的发展相去甚远. 从国内数学课程的现状看，九年义务教育的实施，数学课程从内容到形式，较实施义务教育前，要求有所降低，知识面有所扩大.而原有的高中数学课程教材存在比较多的缺陷，如教学内容陈旧. 在传统教材中，除集合思想有所渗透外，其他内容基本上只包括17世纪以前的代数、几何内容，而在其他一些国家占有重要地位的概率统计、向量、微积分初步等很有实用价值的内容均无所涉及.有些价值不大的内容又贪多求全. 高中新课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统，重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，并力图改变目前数学课程及实施过程中的某些“繁、难、偏、旧”状况，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解，重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容.以工具性为主要特点的向量作为有实用价值的内容之一，选入高中数学新教材是合情合理的，这也符合国际数学课程改革的思路.

综上所述，向量进入中学数学是十分必要的.

2．中学数学引进向量的可行性

向量作为一种理论工具在几何中的运用，却是1918年著名数学家韦尔（H.Weyl,1885-1995）提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得

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向量空间作为辅助结构，将向量空间的元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定点空间的维数.韦尔的公理体系使欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言.学生在义务教育阶段已经学习了欧几里得几何的基本理论,在高中阶段使学生学会用向量的方法处理几何问题,学生不但有一定的数学基础,而且也符合学生的认知规律.另外中学教师丰富的几何教学经验，以及现代教育技术的迅猛发展及普及，在中学阶段引入向量是完全可以接受的.

2．1、学生学习向量是有基础的

在义务教育阶段,学生学习了平面几何的基本理论与方法,这为学生进入高中阶段学习立体几何奠定了数学基础;另外在义务教育阶段,学生在学习平面直角坐标系的基础上学会了用坐标表示点,用方程表示曲线,这为学生在高中阶段学习向量的坐标表示埋下了伏笔;义务教育阶段物理中的速度、位移、力和加速度等矢量概念的学习又为向量的学习提供了实际的背景支持. 高一物理课中的位移、力、速度、加速度等多次用到矢量的加法与减法，使学生在后来向量运算的学习中显得游刃有余.因此,在实际的教学中，如果能选择适合学生年龄特点的合适的教材处理方式和教学方法，那么学生向量的学习和应用将变得更容易接受.比如：在初中阶段引入向量空间的做法就值得商榷，而许多国家的中学几何课程都采取折中的方案，也即保留了简化的欧几里得公理系统，并在适当的时候引进向量的几何形式（有向线段或者平移算子），以及向量的加法、数乘和内积，这种方案可以使得学生向量的学习和应用变得更容易接受.

2.2、向量的引入有助于培养学生的思维能力

向量内容在教材中的呈现特别注意对学生思维能力的培养.对知识的处理,

都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式.这样的处理,可以发挥学生学习的主体性,培养学生的思维能力.例如，平面向量基本定理的引入，先让学生思考教科书图5-17中的向量a与向量e1、

e2之间的关系，联想到实数与向量的积的这一概念，再通过图作出，最后给出平面向量基本定理.对于解斜三角形，教科书是这样引入的“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角.那么，如何来解斜三角形呢？也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角？”通过设问，引起学生思考.另外,向量的引入注意到数学思想方法的渗透.在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法.例如，从帆船在大海航行时的位移，渗透数学建摸的思想.通过介绍相等向量及有关作图的训练，

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渗透平移变换的思想.

由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁.向量的坐标实际是把点与数联系了起来，从而把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想.

2．3、现代教育技术为向量教学提供了技术上的支持

信息时代，数学教育面临着前所未有的机遇和挑战,信息技术的飞速发展必然对数学教学产生深刻影响.随着新课程改革的不断深入，数学教学内容及教学方式发生了变化.计算机辅助教学是越来越受学生和老师喜爱的教学方式之一.

自从1958年IBM的研究中心利用计算机进行小学二进制的数学教学开始，计算机辅助教学已经逐步发展起来.特别是近十几年来，随着计算机的发展，出现了许多高质量的数学软件（如一些数学软件包mathcad、mathematica、maple，《几何画板》，《Z+Z智能教育平台》等）.许多教师也在逐步地应用计算机和图形计算器（如内置了计算机代数和交互式平面几何的TI—92）辅助他们的数学教学.另外，人们可以利用网络获取更多的信息，可以实现同步的远距离学习.所有这些，对于我们的传统教育方式都产生了很大的冲击.利用信息技术，可以做许多传统教育方式难以办到的事情.信息技术支持下的数学教学方式主要有: 用计算机进行课堂演示; 利用计算机进行自主的探究式学习; 利用计算机进行知识复习和学习评价; 利用网络进行合作学习等

数学是研究数量关系和空间形式的科学，而向量本身就具有数和形的双重特征.利用向量的数值运算可以刻画几何图形的特征,同时利用现代教育技术可以使向量的平移、旋转更生动更直观.尤其是利用《几何画板》研究向量的运算及应用更有利于学生向量的学习.

综上所述，向量进入中学数学是完全可行的.

3、高中数学课程中向量内容分析

在高中阶段，系统地讲授向量知识，在我国数学教材史上还是首次.如何把大纲中的内容组织成既适合于教又适合于学，并能取得良好教学效果，是教科书编写时必须考虑的问题.

3.1、“平面向量”内容分析

“平面向量”被编排在人教版全日制普通高级中学(试验修订本)数学第一册(下)中，主要内容有：向量的概念及其表示---向量的加法---向量的减法---数乘向量

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