?E???1?p?k?(k?1)?1??1?p?k?=k?1?k?1?p?k……………6分
2??
kk若E?1?E?2，则k?k?1?k(1?p) ∴k(1?p)?1
11111(1?p)? ∴1?p?()k ∴p?1?()k
kkk11∴p关于k的函数关系式p?1?()k（k?N?且k?2） ………………8分
k11k（ⅱ）由题意可知E?2?E?1，得??1?p?,Qp?1?
3kek111?1?……………10分 ???3?，?lnk?k，设f?x??lnx?x(x?0)33k?e?
3?xQf??x??，?当x?3时，f??x??0，即f?x?在?3,???上单调递减
3x4455?ln4?，?ln5? 又ln4?1.3863，?1.3333，ln5?1.6094，?1.6667，
3333?k的最大值为4. ………………12
分
21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）Qf(x)?lnx?k1111ax?1? ?f?(x)??2?(x?0) …………1分 axaxaxax2当a?0时，?f?(x)?0，?f(x)在(0,??)单调递增； …………2分
111?f(x)在(0,)当a?0时，由f?(x)?0得：x?；由f?(x)?0得：0?x?，
aaa1单调递减，在(,??)单调递增 ……………………4分
a1综上：当a?0时，f(x)在(0,??)单调递增；当a?0时，f(x)在(0,)单调递
a1减，在(,??)单调递增. ………………5分
a（Ⅱ）由题意：当a?0时，不等式f(x)?g(x)??2，
11x即lnx??1?(b?1)x?xe???2
xxlnx1x?在(0,??)恒成立，即b?1?e? ……………6分 xxlnx11?lnx1x2ex?lnxxx?，则h?(x)?e?令h(x)?e?， ………7分 ?2?22xxxxx12x2x令u(x)?xe?lnx，则u?(x)?(x?2x)e??0，
x数学（理科）试题 第9页（共11页）
?u(x)在(0,??)单调递增
11exu(x)又u(1)?e?0,u()?有唯一零点0（?x0?1） ?ln2?0，所以，
224lnx0x0xe??所以，u(x0)?0，即0--------（※） ………………9分
x0x?(x0,??)时，u(x)?0即h?(x)?0，u(x)?0h(x)单调递减；当x?(0,x0)时，
即h?(x)?0，h(x)单调递增，所以h(x0)为h(x)在定义域内的最小值. ……10分 令k(x)?xe(?x?1)则方程（※）等价于k(x)?k(?lnx)
x121 ………………11分 xlnx011?x01x0h(x)?e??????1 h(x)所以，的最小值0x0x0x0x0x0x又易知k(x)单调递增，所以x??lnx，e?所以b?1?1，即b?2
所以实数b的取值范围是???,2? ………………12分
22．（本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程
y?1?x?2?tcos?,解：（Ⅰ）由? 消t得?tan?，
x?2?y?1?tsin?,直线l的普通方程为xtan??y?2tan??1?0，
将?cos??x,?sin??y,??x?y代入?2?4?cos??2?sin??4?0得 曲线C的直角坐标方程为x2?y2?4x?2y?4?0 ………………4分 （Ⅱ）曲线C的方程化为(x?2)2?(y?1)2?9，曲线C是以(2,1)为圆心，3为半径的圆．
222AB?2，圆心到直线l的距离d?4tan?tan??12r2?(AB2)?9?1?22， 2又d?，∴4tan?tan??12?22，
解得tan???1，Q0????2，∴???4 ……………………10分
（注：用t2?t1求解一样给分）
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由已知x?2?x?1??
数学（理科）试题 第10页（共11页）
当x?1时，不等式等价于2?x?1?x?7，解得x??2，∴x??2； 当1?x?2时，2?x?x?1?7，此时不等式无解； 当x??时，x?2?x?1?7，解得x?5，∴x?5
综上：解集为?xx??2或x?5? ………………………5分 （Ⅱ）∵x?m?x?1??x?m???x?1??m?1
∴x?m?x?1?m?1
当且仅当?x?m??x?1??0且x?m?x?1时等号成立． 依题意m?1??，解之得m?8或m??6，
∴m的取值范围为???,?6???8,???． ………………………10分
数学（理科）试题 第11页（共11页）
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