2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1

2222答案：因为an?2?an?3an?1?an?2?(6an?2?an?1)an?1?an?2?6an?2an?1?an?1

22?an?2(an?2?6an?1)?an?a?1n?1?an?2an.

所以A选项正确；

2222由于a3?11，故an?1?an?2an?an?1?(6an?1?an)an?an?1?6an?1an?an??7，

又对任意正整数恒成立，所以4an?1an?7?(an?1?an)2,8an?1an?7?(an?1?an)2， 故选项C,D正确.

计算前几个数可判断选项B错误. 答案：ACD.

2说明：若数列{an}满足an?2?pan?1?an，则an?1?an?2an为定值.

15. 若复数z满足z?1?1，则z可以取到的值有（ ） z5?1 2A.

115?1 B.? C. D. 222答案：因为|z|?5?15?15?111，等号分别当z?i和?|z|??z??1，故

222|z|zz?5?1i时取得.答案CD. 216. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）

A.6552 B.4536 C.3528 D.2016

答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2016的所有约数之和减去2016和1008.

考虑到2016?2?3?7，因此所求正多边形的个数为

522016个，因此所求的正多边形的个数就是k(1?2?4?8?16?32)(1?3?9)(1?7)?2016?1008?3528.答案C.

11x2y217.已知椭圆2?2?1(a?b?0)与直线l1:y?x,l2:y??x，过椭圆上一点P作

22abl1,l2的平行线，分别交l1,l2于M,N两点.若|MN|为定值，则

A.2 B.3 C.2 D.5

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a?（ ） b答案：设点P(x0,y0)，可得M(x0?y0,1211111x0?y0),N(x0?y0,?x0?y0)， 42242a24a122?2，答案：C. 故意|MN|?x0?4y0为定值，所以2??16,1bb44说明：（1）若将两条直线的方程改为y??kx，则

a1?； bk（2）两条相交直线上各取一点M,N，使得|MN|为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆.

18. 关于x,y的不定方程x?165?2的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

答案：方程两边同时模3，可得x2?2y(mod3)，因2不能被3整除，故x不能被3整除，所以x2?1(mod3)，故2y?1(mod3)，所以y为偶数，可设y?2m(m?N*)，则有

m?2?x?5,?x?59,?mm即?答案：B. (2?x)(2?x)?615?3?5?41，解得?my?12.?2?x?123,??y2y219.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),?等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序有In种，则（ ）

A.I2?2 B.I3?12 C.I4?96 D.I5?120 答案：根据卡特兰数的定义，可得In?Cn?1An?n1n?1n?1C2n?2?n!?(n?1)!C2n?1.答案：AB. n关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.

20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 .

答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为0.3(0.5?0.3?0.5?0.8)?0.165.

21.在正三棱锥P?ABC中，?ABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x，异面直线

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AB,CP的距离为y.则limy? .

x??CP趋于与平面ABC垂直，答案：当x??时，所求极限为?ABC中AB边上的高，为

22.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF?四面体OEBF的体积为 .

答案：如图，

3. 211BC,A1E?A1A，则241VOEBF?VO?EBF?VG?EBF

21111?VE?GBF??VE?BCC1B1?. 22169623.

?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx? .

答案：根据题意，有

2?2?0(x??)232n?1(1?sinx)dx??x2n?1(1?sin2nx)dx?0.

??2n?24.实数x,y满足(x?y)?4xy，则x?y的最大值为 . 2232222222答案：根据题意，有(x?y)?4xy?(x?y)，于是x?y?1，等号当x?y?22222212时取得，因此所求最大值为1. 25.x,y,z均为非负实数，满足(x?与最小值分别为 .

答案：由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)?(1,,0)时，x?y?z取到最大值根据题意，有x?y?z?x?2y?3z?22212327)?(t?1)2?(z?)2?，则x?y?z的最大值224123. 213， 4于是

13?(x?y?z)2?3(x?y?z)y,解得x?y?z?422?3. 2于是x?y?z的最小值当(x,yz)?(0,0,22?322?3)时取得，为. 2226.若O为?ABC内一点，满足S?AOB:S?BOC:S?COA?4:3:2，设AO??AB??AC，则

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???? . 答案：根据奔驰定理，有????242??. 9932?2?z23?isin? . 27.已知复数z?cos，则z?233z?z?2z25?5?13答案：根据题意，有z?2?1?z2??z?cos?isin??i.

z?z?23322328.已知z为非零复数，

z40,的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对10z应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为 .

y?x?1,?1,?4040z1010??答案：设z?x?yi(x,y?R)，由于，于是 ?40x240yz|z|?2?1,2?1,22?x?yx?y?如图，弓形面积为

1??100??202?(?sin)??100， 2663四边形ABCD的面积为

12?(103?10)?10?1003?100. 2100?200??100)?(1003?100)??1003?300. 于是所示求面积为2(3329.若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? . ，则

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx3答案：根据题意，有

sin4xsin2xsinxsinx???

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx?(tan8x?tan4x)?(tan4x?tan2x)?(tan2x?tanx)?tanx?tan8x?3.

30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4?4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.

答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有C4种选择. 下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为a,b.

情形一：若a,b位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；

情形二：若a,b位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有

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2种选择.

2所以偶数的不是位置数为C4(3?6?2)?90.

484因此，总的填法数为90C8. C8?44100031.设A是集合{1,2,3,?,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值为 .

答案：一方面，设A?{a1,a2,?,ak}，其中k?N*,1?k?14.不妨假设a1?a2???ak. 若k?9，由题意，a3?a1?3,a5?a3?7，且a5?a3?a3?a1，故a5?a1?7.同理

a9?a5?7.又因为a9?a5?a5?a1，所以a9?a1?15，矛盾！故k?8.

,13,14}，满足题意. 另一方面，取A?{1,2,4,5,10,11综上所述，A中元素个数的最大值为8.

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