数学思想与数学方法考试提纲

数学思想与数学方法考试提纲

1、毕达哥拉斯：把数学从哲学中分离出来；

2、毕达哥拉斯学派：第一个将数学作为一门独立学科进行研究的学派 3、欧几里得：“几何学之父”，《几何原本》 4、丢番图：把代数从几何中分离出来，“代数之父” 5、韦达：“代数学之父”

6、欧式几何和非欧几何的区别：

非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。 平行公设也称为欧几里得第五公设，这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说：如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

非欧几何一般是指罗氏几何和黎曼几何。罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。

7、浅述希腊数学的兴衰与近代西方数学的复兴之间的联系

古希腊数学的兴衰分为三个阶段：第一阶段是兴起阶段，希腊数学的兴起是在雅典时期；第二阶段是全盛阶段，亚历山大时期是古希腊数学的全盛时期；第三个阶段是衰退阶段，亚历山大后期是古希腊数学的衰落时期，自古希腊被罗马占领以后，古希腊数学也随之走向消亡。

到公元6世纪，随着希腊文明被毁灭，欧洲社会坠入了黑暗的中世纪，欧洲的科学在长达千余年间处于萧条局面。于是，数学也随着科学中心的东移，在中国、印度、阿拉伯各国得到发展。一位名叫花拉子密的东方数学家在收集、整理、翻译大量散失的古希腊和东方的科学技术及数学著作的基础上写出了一本名叫《还原与对消》的数学著作。作为古希腊集大成者的一位数学家，他的《还原与对消》传到欧洲，对欧洲文艺复兴时期的数学复兴产生了巨大的作用。

十字军远征使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。，他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文，于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。而欧洲文艺复兴正是始于意大利，之后是德国，但德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。 8、中国古代数学

先秦：萌芽期

汉唐：发展期，代表人物：刘徽（魏晋时期，《九章算术注》，刘徽割圆术）祖冲之（南北朝时期，把圆周率精确到小数点第七位，利用牟合方盖解决球体体积计算问题）

宋元：鼎盛期，代表人物：秦九韶（南宋，《数学九章》、“秦九韶算法”）杨辉（南宋，“杨辉三角”）李冶，朱世杰

明清：西学东渐期，代表人物：徐光启（明，“几何”名称的由来，与意大利传教士利玛窦一起翻译并出版了《几何原本》）李善兰（清，“中国代数之父”、“李善兰恒等式”） 9、中国近现代数学家

陈景润、华罗庚、吴文俊 10、史上贡献最大的四位科学家

【阿基米德、牛顿、高斯（前三位）】、欧拉

11、三次数学危机

数学危机是指在当时的理论体系中无法解释的重大数学矛盾。

第一次数学危机——无理数的发现。毕达哥拉斯学派认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。

第二次数学危机——无穷小是零吗？贝克莱指出：“牛顿在求Xn的导数时，采取了先给X以增量ε，应用二项式（X+ε）n，从中减去Xn以求得增量，并除以ε以求出Xn的增量与X的增量之比，然后又让ε消逝，这样得出增量的最终比。”这里牛顿做了违反矛盾律的手续---先设有X增量，又令增量为零，也即假设X没有增量。“他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬。”“dx为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。第二次数学危机是随着极限的诞生而解决的.

第三次数学危机——关于集合的悖论的产生。罗素于1919年给出的悖论涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 12、数学奖项 国际数学家大会（ICM）：每四年举行一次。2002年第24届ICM首次在中国北京举行，陈省身任大会名誉主席，吴文俊任主席。2002年为中国数学年。 菲尔兹奖：数学界的诺贝尔奖 沃尔夫奖：奖给那些在数学上终身成就突出的数学家。陈省身在1984年获得了沃尔夫奖 13、用数学归纳法证明：数列 （n2,2?2,2?2?2,?,2?2?2???2个根号）单调增加有上界。 证明：Ak= （k个根号) 2?2?2???2 当n=1时，数列仅为A1

当n=2时，数列为A1，A2单调递增，且有上界

当n=k时，该数列单调递增，且有上界，令上界为x，

那么当n=k+1时，limAk=limAk+1，即x=2?x,x=2(舍去x=-1)

即当n=k+1时也成立，所以原命题得证。 14、根的存在定理（这个太简单了）

15、选择一个学习过程中遇到的数学问题，简述解决该问题所用到的数学思想方法。 这个随便写吧，什么微积分、线代、概率，随便想一个问题就行，做不做还不一定呢。

16、选择一个数学分支，分析其某一发展过程中与社会文化发展的关系。

微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分，因为微积分是研究运动规律的科学。现代微积分理论基础的建立是认识上的一个飞跃。极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的辩证的对

立统一关系。从极限的观点看，无穷小量不过是极限为零的变量。即在变化过程中，它的值可以是“非零”，但它的趋向是“零”，可以无限地接近于“零”。因此，现代微积分理论的建立，一方面，消除了微积分长期以来带有的“神秘性”，使得贝克莱主教等神学信仰者对微积分的攻击彻底破产，而且在思想上和方法上深刻影响了近代数学的发展。这就是微积分对哲学的启示，对人类文化的启示和影响。

17、从数学发展历程中选取一种数学文化，论述其中蕴含的数学思想。

极限思想虽然在古希腊、在古代中国都有存在可循，但其真正的发展确是在文艺复兴时期。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an－A|<ε恒成立”。

18、结合学习数学的心得体会，以及你对数学文化的认识谈谈数学对所学专业发展的影响。 数学在经济学中得到广泛而深入的应用。经济学要反映经济中数量关系，因此，经济学与数学就有着千丝万缕的联系。

有效配置和合理利用稀缺的经济资源从而最大限度满足人类欲望始终是经济学研究的主题。这不可避免会涉及到效率和最优化问题，而有关效率和最优化问题的研究不仅有定性分析，更重要的要有定量分析。数学作为定量分析的重要工具，以其严密性、客观性正好适应了这一要求。

将经济理论、数学和统计学相结合形成计量经济学。计量经济学即根据经济理论关于经济变量间的相互关系，用联立方程构建数学模型，再根据实际经济统计资料，对模型的参数进行估计，最后反过来检验理论的正确与否以及进行经济预测。目前，计量经济学更广泛地运用于实际经济生活中，各国普遍利用经济计量模型从事经济预测和经济分析，拟定经济发展计划，提出经济对策。经济计量模型正日益成为一个重要的经济管理决策工具。

武汉大学高级研究所张定盛曾经说过：“数学在经济学中的应用在西方已有上百年的历史，借助数学，推导无论如何冗长也不会失去可靠性。当经济学家之间发生意见不一致时，很容易弄清楚分歧的根源何在，从而使得讨论研究的效率大大提高。”现代主流经济学主要交流的是数学，没有经济学的形式化和严密的演绎推导，经济学不可能走得这么远。也许也正是经济学的形式化，是经济学具备了科学的形态，才最终被诺贝尔奖所接受，成为社会科学的“皇后”。