第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷及答案
一、填空（每题10分，共80分）
1．“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是 。 2．计算；[20.75?(3.74?2)?91223]?41.75? 。 25图1
3．如图书1所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CE . . .13121 . 4．将,,0.523,0.523，0.52从小到大排列，第三个数是 。 250405．图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱关，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于 立方厘米。（取?=3.14，水瓶壁厚不计） 6．一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于 ，从这列数的第 个数开始，第个都大于2007。 7．一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是 。 8.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图3 ，从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是 。 二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．如图5， 在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠DAC，∠DAB=21°，求∠ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。 图5 10．李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒，已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？ 11．图6是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字，小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都要不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由。 12．某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？ 三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．如图7，连接一个正六边形的各顶点，问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？ 14．圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……放置了第k-1个盒子，并将第k枚白色棋子放在一个盒子中，小明按照这个规则放置了200枚白色棋子，随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子，请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？ 第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷参考答案 一、填空（每题10分，共80分） 题号 答案 1 254948903981 2 0.5 3 71 4 5 1727 6 486;8 7 74 8 48 0.523 .注：第6题，每空5分 二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．解： ①由已知条件， ∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠DAC， 由三角形内角和是180°，在三角形ADC中， ∠ADC= 180???ACB?ACB1?90???90???ABC（给4分） 22211∠ABC）=90°+∠ABC 22②又因为∠BDA+∠ADC=180°,所以 ∠BDA=180°-∠ADC=180°-（90°- 在三角形BAD中，∠ABC+21°+∠BDA=180°，即： ∠ABC+21°+（90°+ 1∠ABC）=180°，解得∠ABC=46°（给4分） 2③又因为∠BAC=88°, ∠ABC=∠ACB=46°, ∠ADC=∠DAC=67°, ∠BDA=113° 因此图中的三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形（给2分） 答：∠ABC=46°，三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形。 评分参考：见解答过程；仅给出正确答案，无过程，只给4分。 10．解：设货车车速为x千米/小时，由题意， ?x?60??解上面方程 x?60?得到 ?15.8?30?1.2?30?10? 18?360010000.52?3600?104 18 x?104?60?44（千米/小时） 答：货车车速为每小时44千米。
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