2018年新人教A版高中数学选修2-1全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修2-1

全册同步检测

目 录

第1章1.1-1.1.1命题

第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系 第1章1.2-1.2.1充分条件与必要条件 第1章1.2-1.2.2充要条件 第1章1.3简单的逻辑联结词 第1章1.4-1.4.2存在量词

第1章1.4-1.4.3含有一个量词的命题的否定 第1章章末复习课 第1章章末评估验收(一) 第2章2.1-2.1.1曲线与方程 第2章2.1-2.1.2求曲线的方程 第2章2.2-2.2.1椭圆及其标准方程

第2章2.2-2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质 第2章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用 第2章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程

第2章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质 第2章2.3-2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用 第2章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程

I

第2章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质 第2章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用 第2章章末复习课 第2章章末评估验收(二)

第3章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算 第3章3.1-3.1.2空间向量的数乘运算 第3章3.1-3.1.3空间向量的数量积运算

第3章3.1-3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示 第3章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示 第3章3.2第1课时空间向量与平行关系 第3章3.2第2课时空间向量与垂直关系 第3章3.2第3课时空间向量与空间角 第3章章末复习课 第3章章末评估验收(三) 模块综合评价

II

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第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系

1.1.1 命题

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列语句是命题的是( )

①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x>2；⑤这座山真险啊！ A．①②③ C．①②⑤

B．①③④ D．②③⑤

解析：①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题． 答案：A

2．下列命题中，是真命题的是( ) A．a>b，c>d?ac>bd B．a

C.b ab

D．a>b，cb－d

解析：可以通过举反例的方法说明A，B，C为假命题． 答案：D

3．下列命题中真命题的个数为( ) ①若x2＝1，则x＝1； ②若x＝y，则x＝y； ③若a＞b，则a＋c＞b＋c； ④梯形的对角线一定不垂直．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：只有③正确．

1

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答案：A

4．给出下列命题：

①四个非零实数a，b，c，d满足ad＝bc，则a，b，c，d成等比数列； ②若整数a能被2整除，则a是偶数； 1

③在△ABC中，若A>30°，则sin A>. 2其中为假命题的序号是( )

A．② B．①② C．②③ D．①③

5

解析：①中，若a＝－1，b＝，c＝2，d＝－5满足ad＝bc，但a，b，c，d不成等

21

比数列，故是假命题；③中，若150°

2

答案：D

5．下列命题中，是真命题的是( ) A．若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0 B．若a＞b，则ac＞bc C．若M∩N＝M，则N?M D．若M?N，则M∩N＝M

解析：A.取a＝1，b＝－1，推不出a2＋b2＝0，A不成立；B.c≤0时，不成立；C.M∩N＝M?M?N，C不成立；D成立．

答案：D 二、填空题

6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”，写成“若p，则q”的形式为________．

解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它一定能被2整除． 答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除 7．已知下列命题：

2

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①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a＞b，则ac2＞bc2； ④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 解析：①②③④全为假命题． 答案：4

8．给出下列三个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，是真命题的是________(填序号)． 答案：② 三、解答题

9．判断下列命题的真假．

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值； (2)正项等差数列的公差大于零； 1

(3)函数y＝的图象关于原点对称．

x

解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．

(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.

1

(3)真命题．y＝是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．

x

10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

3

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(1)乘积为1的两个实数互为倒数； (2)奇函数的图象关于原点对称； (3)与同一直线平行的两个平面平行．

解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题． p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题． p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．

(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．

B级 能力提升

1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )

A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a、b相交，则α、β相交 D．若α、β相交，则a、b相交

解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．

答案：D

2．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根； ②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd； ③对角线相等的四边形是矩形； ④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0. 其中真命题的序号是________．

4

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解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．

答案：①②④

3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．

解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．

函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．

5

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第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题间的相互关系

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知命题p：“若ab＝1，则a＋b≥2”，则下列说法正确的是( ) A．命题p的逆命题是“若ab≠1，则a＋b<2” B．命题p的逆命题是“若a＋b<2，则ab≠1” C．命题p的否命题是“若ab≠1，则a＋b<2” D．命题p的否命题是“若a＋b≥2，则ab＝1”

解析：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，否命题是“若?p，则?q”. 答案：C

2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠| b | B．若a＝－b，则|a|≠| b | C．若|a|≠| b |，则a≠－b D．若|a|＝| b |，则a＝－b

解析：原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝| b |，作为逆命题的条件，即得逆命题，“若|a|＝| b |，则a＝－b.”

答案：D

3．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )

6

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A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案：D

4．下列四个命题中，真命题为( )

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 答案：C

5．与命题“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”为互逆命题的是( )

A．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an≠ap＋aq B．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q C．在等差数列{an}中，若am＋an≠ap＋aq，则m＋n≠p＋q D．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an＝ap＋aq 答案：B 二、填空题

6．命题“若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．

解析：逆否命题：“若△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC”，为真命题．

7

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答案：真命题 7．下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题． 其中是真命题的是________(填序号)．

解析： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.

答案：①②③ 8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题； ②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题； ③“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是________． 答案：1 三、解答题

9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0. 所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.

所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．

8

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10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)， 则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f(a)

所以f(a)＋f(b)

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)

即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．

B级 能力提升

an＋an＋1

1．原命题为“若

2题、逆否命题的真假性的判断依次如下，正确的是( )

A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假

D．假、假、假

9

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an＋an＋1

解析：

2其否命题和逆否命题也都是真命题．

答案：A

2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为________命题，逆命题为________命题(填“真”或“假”)．

解析：逆否命题为：a，b都小于1，则a＋b<2是真命题．

所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，例如a＝3，b＝－3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故逆命题是假命题．

答案：真 假

1

3．设0

证明：假设(1－a)b>，所以（1－a）b>，

4211

(1－b)c>，所以（1－b）c>，

4211

(1－c)a>，所以（1－c）a>.

42

1－a＋b1－b＋c1－c＋a3

相加得<（1－a）b＋（1－b）c＋（1－c）a≤＋＋＝

22223

左右矛盾，故假设不成立． 2

1

所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不同时大于. 4

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第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件

A级 基础巩固

一、选择题

1．“x>0”是“3x2>0”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．既是充分条件又是必要条件

解析：x>0显然能推出3

x2>0，而3

x2>0，不能推出x>0. 答案：A

2．“α＝π16＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝2”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：“α＝

π6＋2kπ(k∈Z)”?“cos 2α＝12”，“cos 2α＝1

2”?/ (k∈Z)．因为α还可以等于2kπ－π

6

(k∈Z)，所以选A.

答案：A

11

α＝π6

＋2kπ”“人教A版高中数学选修2-1同步检测

3．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由ln(x＋1)<0得－1

4．已知集合M＝{2，m}，N＝{1，2，3}，则“m＝3”是“M?N”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若m＝3，则M＝{2，3}，显然M?N；但当M?N时，m＝1或m＝3，故“m＝3”是“M?N”的充分不必要条件．

答案：A

5．设x、y是两个实数，命题：“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )

A．x＋y＝2 C．x2＋y2＞2 答案：B 二、填空题

6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．

解析：由已知，得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0}， 所以－a＜－2?a＞2.

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B．x＋y＞2 D．xy＞1

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答案：a＞2

7．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件： ①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l； ②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β； ③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α； ④n⊥α，n⊥β，m⊥α.

其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)． 答案：②④

8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案：充分 三、解答题

9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q 的什么条件？ (3)p是q的什么条件？

解：(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件． (2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件． (3)因为q?s?r?p，所以p是q的必要条件．

10．已知命题p：α＝β；命题q：tan α＝tan β，判断p是q的什么条件？ π

解：当α＝β＝时，显然tan α与tan β无意义，即p?/ q，故p不是q的充分条

2π5π

件；又α＝，β＝时，tan α＝tan β，所以q?/ p，所以p不是q的必要条件，

44综上，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

B级 能力提升

1．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )

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A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：B

2．“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案：a＝1(或a＝－1)

a

3．已知a、b为不等于0的实数，判断“＞1”是“a＞b”的什么条件，并证明你

b的结论．

a－ba

解：由条件“＞1”可得＞0，

bb若b＞0，则a＞b；

a

若b＜0，则a＜b，所以“＞1”

b

“a＞b”，

a“＞1”不是“a＞b”的充分条件． b

a－baa

反过来，a＞b?a－b＞0，也不能推出＞1?＞0，“＞1”也不是“a＞b”的必

bbb要条件．

a

所以“＞1”既不是“a＞b”的充分条件，也不是“a＞b”的必要条件．

b

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第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件

1.2.2 充要条件

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：因为“A∩{0，1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}” 能得出“A∩{0，1}＝{0}”，

所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件． 答案：B

2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由于“x2＞2 013”时，一定有“x2＞2 012”，反之不成立， 所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件． 答案：A

3．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2

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＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．

答案：A

1

4．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”

2的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，

即(m＋2)(4m－2)＝0. 1所以m＝－2，或m＝.

2故为充分不必要条件． 答案：B

5．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )

A．[－1，1]

B．[－4，4]

C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

解析：p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m>0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)， m>0，m<0，????

依题意，?3－m≤－1，或?3＋m≤－1，

???3＋m≥4，?3－m≥4，解得m≤－4或m≥4. 答案：C 二、填空题

6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．

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解析：“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”． 答案：充要条件

7．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．

解析：若α＝370°>β＝30°，而sin αβ”推不出“sin α>sin

β”，若sin 30°>sin 370°，而30°<370°，所以sin α>sin β推不出α>β.

答案：既不充分也不必要条件

8．已知p：x2－4x－5>0，q：x2－2x＋1－λ2>0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是________．

解析：命题p成立，x2－4x－5>0，得x>5或x<－1；命题q成立，x2－2x＋1－λ2>0(λ>0)得x>1＋λ或x<1－λ，由于p是q的充分不必要条件，所以1＋λ≤5，1－λ≥－1，等号不能同时成立，解得λ≤2，由于λ>0，因此0<λ≤2.

答案：(0，2] 三、解答题

9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.

解：依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a，或x－1＞a，所以x＜1－a，或1

x＞1＋a，由条件q：2x－3x＋1＞0得x＜，或x＞1.

2

2

要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有

?1－a≤1，12解得a≥. ?2?1＋a≥1，

令a＝1，则p：x＜0，或x＞2， 1

此时必有x＜，或x＞1.

2即p?q，反之不成立．

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所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.

10．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明：(1)必要性．

因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.

所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝ (a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. (2)充分性．

因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 又ab≠0，所以a≠0且b≠0. b?232?

因为a－ab＋b＝?a－2?＋b＞0.

4??

2

2

所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0

B级 能力提升

2

??x＋ax，x≤1，

1．已知函数f(x)＝?2则“a≤－2”是“f(x)在R上单调递减”的( )

?ax＋x，x＞1，?

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 答案：C

2．设集合A＝{x|x(x－1)＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．

解析：由于A＝{x|0＜x＜1}，则A?B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．

18

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答案：充分不必要

3．已知P＝{x|x2－8x－20 ≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．

(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的范围． (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的范围． 解：(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S. 由x2－8x－20≤0?－2≤x≤10， 所以P＝[－2，10]．

由|x－1|≤m?1－m≤x≤1＋m， 所以S＝[1－m，1＋m]．

??1－m＝－2，

要使P＝S，则?

??1＋m＝10，??m＝3，

所以?所以这样的m不存在．

??m＝9，

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S?P. 由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，

??1－m≥－2，要使S?P，则?所以m≤3.

??1＋m≤10，

故m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

19

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第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( ) A． p∨q为真，p∧q 为真，綈p为假 B．p∨q为真，p∧q 为假，綈p为真 C．p∨q为假，p∧q 为假假，綈p为假 D．p∨q为真，p∧q 为假，綈p为假

解析：因为p为真命题，q为假命题，所以p∨q 为真，p∧q为假，綈p为假，应选D。

答案：D

2．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈 p为真命题，又因为綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．

答案：A

3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1，2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”

20

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中，真命题有( )

A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

解析：容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．

答案：A

4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2) 2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )

A．“p∨q”为真 C．“綈p”为假

B．“p∧q”为真 D．“綈q”为真

解析：显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假． 答案：A

5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )

A．a>0 C．a>1

B．a≥0 D．a≥1

解析：命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则綈p：a>1；

命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0，即a<0或a>1， 则綈q：0≤a≤1.

由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假；

若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0. 答案：B 二、填空题

21

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6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________________．

解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．

答案：方向相同或相反的两个向量共线

7．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________________，命题的否定为________________．

解析：命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为“若a≥b， 则2a≥2b”，命题的否定为“若a＜b，则2a≥2b”． 答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b

8．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．

答案：② 三、解答题

9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和綈q都是假命题，求x的取值集合． 解：因为綈q是假命题，所以q为真命题．又p∧q为假命题，所以p为假命题． 因此x2－x<6且x∈Z，解之得－2

2

?x?－x－6≤0，22

10．设p：实数x满足x－4ax＋3a＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足?2

?x＋2x－8＞0.?

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0， 又a＞0，所以a＜x＜3a.

22

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当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3.

2??x－x－6≤0，由?2，得2＜x≤3， ?x＋2x－8＞0?

则q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 若p∧q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是2＜x＜3.

(2)綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p?綈q， 且綈q

綈p.

B，

设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}， B＝{x|綈q}＝{x≤2或x＞3}， 则0＜a≤2，且3a＞3，

所以实数a的取值范围是1＜a≤2.

B级 能力提升

1．已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数； p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数， 则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，

q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( ) A．q1，q3 C．q1，q4 答案：C

12．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若綈q且p为真，则x的取值范

3－x围是____________________________________．

23

B．q2，q3 D．q2，q4

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x－2

解析：因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，

x－3所以q假时有x≥3或x≤2.

p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3.

??x＞1或x＜－3，由?得x≥3或1＜x≤2或x＜－3. ??x≥3或x≤2，

所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3. 答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)

3．已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．

解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

2Δ＝4a－4≥0，?

??

??－2a＞－2，解得a≤－1. ?x1＋x2＞－2，

??（x1＋1）（x2＋1）＞0，??2－2a＞0，

??a＞0，命题q：关于x的不等式ax－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或?即

?Δ＜0.?

2

2

a?－1≥0，

??a＞0，

?2 ?a－4a＜0.?

因为“p或q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，

??a≤－1，

所以?解得a≤－1.

?a＜0或a≥4，?

故实数a的取值范围是(－∞，－1]，

???a＞0，?a＞0，由于???2解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.

??Δ＜0，a－4a＜0，??

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第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列命题中，不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：D选项是特称命题． 答案：D

2．下列命题中特称命题的个数是( ) (1)至少有一个偶数是质数． (2)?x0∈R，log2x0>0. (3)有的实数大于零．

A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题． (2)中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题． (3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题． 答案：D

25

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3．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( ) A．有一个x0∈R，使x20>3 B．对有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x0∈R，使x20>3 D．至少有一个x0∈R，使x20>3

解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“?”的含义． 答案：C

4．下列特称命题中，假命题是( ) A．?x0∈R，x20－2x0－3＝0

B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除 C．存在两个相交平面垂直于同一直线 D．?x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数

解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．

答案：C

5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 C．－1＜a＜1 答案：A 二、填空题

6．若命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________． 解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数， 所以1≤y≤e，

若p为真，则a≥(ex)max＝e. 答案：[e，＋∞)

7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存

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B．a≤1 D．－1＜a≤1

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在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．

答案：②③

8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________． 解析：依题意有：

2?a－1＞0，??a＜－1或a＞1，?2

0＜a－1＜1??2???

???a－1＜1，?－2＜a＜2，

－2＜a＜－1或1＜a＜2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 三、解答题

9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．

(1)有些素数是奇数；

(2)所有的矩形都是平行四边形；

(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (4)?x0∈R，x20＋2x0＋5>0.

解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题． (2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题． (3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根， 因为Δ＝4＋4m<0，即当m<－1时，一元二次方程没有实根，所以其否定是真命题． (4)是特称命题，其否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≤0，因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．

10．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围．

解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1，1]，因为a∈[－1，1]时，y＝f(a)>0恒成立，则

(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；

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??f（－1）>0，??x2－2>0，

(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，得?即?

???f（1）>0，?x2－2x＋2>0，

解得x>2或x<－2.

综上可得：x>2或x<－2.

B级 能力提升

1．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2

＋1＝0；④?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )

A．0个 C．2个 答案：A

2．若命题“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．

解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0， 解得a＜－1或a＞3.

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

3．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交， 所以a∈R.

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0，a∈[－1，1]．

B．1个 D．3个

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第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定

A级 基础巩固

一、选择题

1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ) A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数

C．至少有一个实数的平方不是正数 D．至少有一个实数的平方是正数

解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．

答案：C

2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为( ) A．綈p：存在x∈R，x＜sin x B．綈p：任意x∈R，x≤sin x C．綈p：存在x∈R，x≤sin x D．綈p：任意x∈R，x＜sin x 答案：C

3．命题“?x∈R，?x∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．?x∈R，?x∈N*，使得n

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B．?x∈R，?x∈N*，使得n

解析：?的否定是?，?的否定是?，n≥x2的否定是n

4．命题“?x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定是( ) A．?x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．?x∈R，都有f(x)≠x D．?x∈R，使得f(x0)≠x0

解析：命题的否定为?x∈R，都有f(x)≠x. 答案：C

5．已知命题p：?x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：?x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是( )

A．綈q是假命题 C．綈p是假命题 答案：A 二、填空题

6．已知命题p：?x∈R，x2－3x＋3 ≤0，则綈p为________． 答案：?x∈R，x2－3x＋3＞0

7．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________． 解析：由题意知，原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”．

答案：“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的” 8．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围

31

B．q假命题 D．p是真命题

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是________．

?－m>0，

解析：由条件知?2所以m<－2.

?m2－4>0，

答案：(－∞，－2) 三、解答题

9．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解：由已知得綈p：?x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立． 所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

???f（1）≤0，?1＋2a＋2－a≤0，则?所以? ?f（2）≤0，?4＋4a＋2－a≤0，??

解得a≤－3，

因为綈p为假，所以a＞－3， 即a的取值范围是(－3，＋∞)．

10．已知命题p：?m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q: ?x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．

解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题． 因为m∈[－1，1]，所以 因为?m∈[－1，1]， 不等式a2－5a－3≥

m2＋8，

m2＋8∈[22，3]，

所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1. 故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1. 又命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0， 所以Δ＝a2－8＞0，

32

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所以a＞22或a＜－22，

从而命题q为假命题时，－22≤a≤22， 所以命题p为真命题，q为假命题时， a的取值范围为－22≤a≤－1.

B级 能力提升

a

1．已知命题p：“a＝1”是“?x＞0，x＋≥2”的充要条件，命题q：?x0∈R，

xx2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是( )

A．命题“p∧q”是真命题； B．命题“p∧綈q”是真命题； C．命题“綈p∧q”是真命题； D．命题“綈p∨綈q”是假命题． 答案：C

2．已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________． 解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．

“?x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”． 答案：?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1

3．写出命题“已知a＝(1，2)，存在b＝(x，1)，使a＋2b与2a－b平行”的否定，判断其真假并给出证明．

解：命题的否定：已知a＝(1，2)，则对任意的b＝(x，1)，a＋2b与2a－b都不平行，是一个假命题．

证明如下：假设存在b＝(x，1)使a＋2b与2a－b平行，则a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)．

2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)． 因为a＋2b与2a－b平行，

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所以存在λ∈R，使得a＋2b＝λ(2a－b)． 即(2x＋1，4)＝λ(2－x，3)．

??2x＋1＝λ（2－x），4所以???4＝3λ，

解得x＝1

2

.

这就是说存在b＝??1?

2，命题．

?2x＋1＝3(2－x)．

?

??

使a＋2b与2a－b平行，故已知命题为真命题，其否定为假

34

1人教A版高中数学选修2-1同步检测

章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]

1．有关真假命题的判断方法

(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．

(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决． 2．正确理解逻辑联结词的含义

(1)已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相对．

(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．

3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面

(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有

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严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．

(2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真．

专题一 充分条件与必要条件的理解及判定

1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：

(1)确定条件是什么，结论是什么； (2)把复杂的条件(结论)化简； (3)尝试从条件推结论，从结论推条件； (4)确定是什么条件．

2．充分条件与必要条件的判定是高考的热点内容，其考查形式主要以选择题或填空题为主，题目难度不大．

[例1] 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正实根，试判断p是q的什么条件．

解：若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正实根，则Δ＝m2－4n ＞0，即m2＞4n.

设方程的两根为x1，x2，则0＜x1＜1，0＜x2＜1， 有0＜x1＋x2＜2，且0＜x1x2＜1.

??x1＋x2＝－m，

根据根与系数的关系，有?

?x1x2＝n.???0＜－m＜2，

解得?

?0＜n＜1.?

所以－2＜m＜0，0＜n＜1，且m2＞4n，即有q?p. 11反之，取m＝－，n＝，

32

36