课时作业13 变化率与导数、导数的计算
1．(2019·湖南株洲模拟)设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是( A )
解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，则π??
g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈?0，2?时，y＝g(t)
?
?
＞0，排除选项C，故选A.
1
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t3
－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是( D )
A．1秒末 C．4秒末
令s′(t)＝0，得t＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零．
3．(2019·河南林州一中调研)函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为( B )
B．1秒末和2秒末 D．2秒末和4秒末
解析：s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，
7A.4 9C.4
1
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－x，
7B．－4 9D．－4 解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，
1
令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－2， 7
解得f′(2)＝－4，故选B.
4．(2019·广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex
＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝( B )
e－1A.e e－1C.2e
解析：∵y′＝aex＋1，
∴切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1， 又切线与直线2ex－y－1＝0平行， 2e－1
∴ae＋1＝2e，解得a＝e. 5．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( D )
A．(0,0) C．(－1,1)
B．(1，－1) D．(1，－1)或(－1,1) 2e－1
B.e 2e－1D.2e
解析：∵f(x)＝x3＋ax2，∴f′(x)＝3x2＋2ax，
∵曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，
2
∴3x0＋2ax0＝－1，
2∵x0＋x31， 0＋ax0＝0，解得x0＝±
∴当x0＝1时，f(x0)＝－1，
当x0＝－1时，f(x0)＝1.故选D.
1
6．(2019·广东深圳模拟)设函数f(x)＝x＋x＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝( D )
A．1 C．－1
B．0 D．－2
11
解析：由题意可得，f(a)＝a＋a＋b，f′(x)＝1－x2，所以f′(a)1??11
＝1－a2，故切线方程是y－a－a－b＝?1－a2?(x－a)，将(0,0)代入得－
?
?
1??12
a－a－b＝?1－a2?(－a)，故b＝－a，故ab＝－2，故选D.
??
7．(2019·乐山模拟)已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( B )
A．(3，＋∞) 7???C.－∞，2? ??
7??
B.?3，2?
?
?
D．(0,3)
解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由
?x1?27－2a
题意可得2e－2e＋a＝3的解有两个，即有?e－2?＝4，即为ex
??
2x
x
7－2a7－2a11x
＝2＋2或e＝2－2，即有7－2a＞0且7－2a＜1，解得37＜a＜2. 8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( A )
A．y＝sinx C．y＝ex
B．y＝lnx D．y＝x3
解析：设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y
＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y1＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝x，则f′(x1)·f′(x2)1
＝xx＞0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)12＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2＞0，故函数y＝ex不具有T性质；y
2＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9x21x2≥0，故函
数y＝x3不具有T性质．故选A.
9．(2019·大庆模拟)函数f(x)＝xex的图象在点P(1，e)处的切线与e坐标轴围成的三角形面积为 4 .
解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)， ∴切线斜率k＝f′(1)＝2e，
∴曲线y＝f(x)在(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)， 即y＝2ex－e.
?1?
∵y＝2ex－e与坐标轴交于点(0，－e)，?2，0?，
??
11e
∴y＝2ex－e与坐标轴围成的三角形面积S＝2×e×2＝4. 10．(2019·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为 2 . 解析：由题意知y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y＝x－2平行的直线的切点时，点P到直线y＝x－2的距离最小，如图所示．
1
故令y′＝2x－x＝1，解得x＝1，
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