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四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP A. －1 x2y254. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦 2592点的距离为_____。 75A. 8 C. 7.5 C. D. 3 4T5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。 2TA. T B. 0 C. D. 不能确定 26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得a2?22<5，选A； |PF左|44小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A； 552TTT5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选 222B； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： 21 22 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z2＋3z－4，求w的三角形式； ② 如z2?az?b果2＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理） z?z?1【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z2＋3z－4＝(1＋ｉ)2＋3(1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ) 5?5?－4＝－1－ｉ，w的三角形式是2（cos＋ｉsin）； 44(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)iz2?az?b由z＝1＋ｉ，有2＝＝＝(a＋2) (1?i)2?(1?i)?1z?z?1i－(a＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； ?a?2?1根据复数相等的定义，得：?， ?(a?b)??1??a??1解得?。 b?2?【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－xn＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log2f(x)的 22,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得： ?n??c?1?f(4)??4?4c??252 ∴ f(x)＝－x4＋x 解f(x)>0得：0 2=(x1-x2)[1-(x1+x2)( x12+x22)], 3定义域，判定在( 344223∵ x1+x2>2， x1+x2> ∴ (x1+x2)( x1+x2)〉2×＝1 2232∴ f(x1)－f(x2)>0即f(x)在(,1)上是减函数 2322∵ <1 ∴ y＝log2f(x) 在(,1)上是增函数。 223322222 23 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期 A’ A 性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在 D 求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 C’ 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，C D是AC中点。 O H ① 证明：AB’∥平面DBC’； B’ B ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 3131设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； 42443Rt△BOH中，OH2＝BH×EH＝， 163∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE EF11OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由 BF3B'B21射影定理得：B’E×EF＝BE2即B’E2＝1，所以B’E＝3。 323 24 1 y 的椭2 M F 圆的下顶点的轨迹方程。 A 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以Mx |AF|到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 21＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 2【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到： 1?4222(x?1)?(m?2)?×2(y?)?2?32 ，消m得：（x－1）＋＝1， ?m?y12??()2?23?y4(y?)23＝1。 所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）2＋2()23【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝ax＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则 f(x)的表达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则下列关系正确的是_____。 A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B 4. 双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是_____。 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 A. y＝±3x B. y＝±1x C. y＝±3x D. y＝± 33x 35. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 24 25 ?n3n6. C383n＋C21?n＝________。 7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数 1z2的辐角主值是__________。 8. 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx2＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知数列{an}是等差数列，求证数列{bn}也是等差数列，其中bn＝1(a1＋ na2＋…＋an)。 10. 已知F1、F2是椭圆x2＋y2＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F2与抛物线y2a22b7＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F1F2·cos∠MF2F1＝23，求椭圆方程。 25
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