2013研究生随机过程试题卷2014年山东科技大学应用随机过程考试

山东科技大学2012—2013学年第二学期研究生

《应用随机过程》考试试卷

班级 姓名 学号 题号 得分 一 二 总得分 一、填空题（每空2分，共30分）

1．设随机变量U~N(0,2)，则随机过程{X(t)?U?t,t?0}的方差函数?X(t)= ；自相关函数RX(s,t)= ； 一维密度函数族为 .

2．设强度为?的Poisson过程{N(t),t?0}表示[0,t]时间间隔内到达的顾客数，Xn,n?1表示第n?1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔，则Xn服从 分布；若记

Sn??Xk，则E?Sn?? ；D?Sn?? .

k?123．设{X(t),t?0}是参数??4的Wiener-Einstein过程，则D? ?X?2??2X(1)??? ；

nE??X(4)?X(2)?X?1????? ；P?X?5??X?2??0?? .

4．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵P???1434?2P{X?0}?，初始分布， 0?3?1212?1P{X0?1}?, 则P{X6?1|X4?0}? ；P{X1?1,X3?0}? ；

3 P{X5?0|X2?0,X3?1,X4?1}? . 225．设随机过程X(t)?At?t,t?0, 其中A为随机变量, 且EA??，DA??，则

??E?X?(t)?? ；E?X(1)X?(2)?? ；?X(t)dt? . 01

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二、计算与证明题（1题10分，2、3、4、5题每题15分，共70分）

1．设一汽大众某4S店购车的人数是一泊松过程,平均每天有10人订购.购车者订购捷达、宝来、高尔夫、迈腾、速腾比例为2:3:1:1:3.设每售出1辆捷达、宝来、高尔夫、迈腾、速腾的利润分别为1.5万元、3.5万元、2万元、3万元、3.2万元，求该4S店在1月内(30天)销售这五种车型所获总利润的数学期望和标准差.

00??01/43/40??3/401/4000???1/201/2000?P?2．设I?{0,1,2,3,4,5},一步转移概率矩阵??,

1/3001/31/30???000001????0?0001/21/2?? （1） 证明由状态0、1、2组成的子马尔科夫链是遍历的马式链，并求它的平稳分布； （2） 判断各状态的常返性和周期性；

（3） 将状态空间I分解为非常返集和基本常返闭集之和.

3．设?1,?2,L是相互独立的随机时间序列, 均服从均值为0，方差为?的正态分布，令

2

X(0)?0，X(n)?11X(n?1)??n，证明： 22(1) {X(n),n?1}是Markov过程； (2) {X(n),n?1}任意有限维分布为多元正态分布.

均方均方4．设随机时间序列Xn????X，Yn????Y，?,?为常数，证明：

(1)

均方均方?Xn??Yn?????X??Y；(2) |Yn|????|Y|；(3)

XnX均方. ????|Yn|?1|Y|?15. 设随机信号过程?X(t)?Asin(?0t??),t?0?，其中A,?0为非零常数，且?为[0,2?]上

均匀分布的随机变量. (1) 验证X(t)是宽平稳过程；

(2) X(t)是否具有均值的各态历经性，并说明理由.

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