2016年高考真题 - 理科数学（全国卷） Word版含解析

?x?my?1?222得3m?4y?6my?9?0； ?xy2?1??3?4??则|MN|?1?m2|y?y|?1?m2MN36m2?36?3m2?4?3m?42?12?m2?1?3m?42；

P4321N x4A42B12MQ234圆心A到PQ距离d?|?m??1?1?|1?m22?|2m|1?m2，

4m243m2?4?所以|PQ|?2|AQ|?d?216?，

21?m21?m221112?m?1?43m2?424m2?11?|MN|?|PQ|?????24??2?12,83221223m?41?m3m?43?2m?1?SMPNQ?

21．⑴ 由已知得：f'?x???x?1?ex?2a?x?1???x?1?ex?2a

x① 若a?0，那么f?x??0??x?2?e?0?x?2，f?x?只有唯一的零点x?2，不

??合题意；

② 若a?0，那么ex?2a?ex?0，

所以当x?1时，f'?x??0，f?x?单调递增 当x?1时，f'?x??0，f?x?单调递减

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即：

x ???,1? ? 1 0 ?1,??? ? f'?x? f?x? ↓ 极小值 ↑ 故f?x?在?1,???上至多一个零点，在???,1?上至多一个零点 由于f?2??a?0，f?1???e?0，则f?2?f?1??0， 根据零点存在性定理，f?x?在?1,2?上有且仅有一个零点． 而当x?1时，ex?e，x?2??1?0，

故f?x???x?2?ex?a?x?1??e?x?2??a?x?1??a?x?1??e?x?1??e

22?e?e?4ae?e?e?4aefx?0则??的两根t1??1，t2??1， t1?t2，因为

2a2a222a?0，故当x?t1或x?t2时，a?x?1??e?x?1??e?0

2因此，当x?1且x?t1时，f?x??0

又f?1???e?0，根据零点存在性定理，f?x?在???,1?有且只有一个零点． 此时，f?x?在R上有且只有两个零点，满足题意．

e③ 若??a?0，则ln??2a??lne?1，

2当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，

x即f'?x???x?1?e?2a?0，f?x?单调递增；

??当

ln??2a??x?1时，x?1?0，

ex?2a?eln??2a??2a?0，即

f'?x????1x??xx0e2，f??a?单调递减； ??当x?1时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增． 即：

x ???,ln??2a?? + ln??2a? 0 ?ln??2a?,1? - 1 0 ?1,??? + f'?x?

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f?x? 而极大值

↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ f??ln??2a?????2a??ln??2a??2???a??ln??2a??1???a??ln??2a??2???1?0

2?2?故当x≤1时，f?x?在x?ln??2a?处取到最大值f??ln??2a???，那么f?x?≤f?x??0无解 fln0???2????a?恒成立，即

而当x?1时，f?x?单调递增，至多一个零点 此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．

e④ 若a??，那么ln??2a??1

2当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，

f?x?单调递增

当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，

f?x?单调递增

又f?x?在x?1处有意义，故f?x?在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．

e⑤ 若a??，则ln??2a??1

2当x?1时，x?1?0，ex?2a?e1?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，

f?x?单调递增

当1?x?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，

f?x?单调递减

当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，

f?x?单调递增

即：

x ???,1? + 1 0 ?1,ln??2a?? - ln??2a? 0 ?ln??2a?,??? + f'?x?

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f?x? ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 故当x≤ln??2a?时，f?x?在x?1处取到最大值f?1???e，那么f?x?≤?e?0恒成立，即f?x??0无解

当x?ln??2a?时，f?x?单调递增，至多一个零点 此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．

综上所述，当且仅当a?0时符合题意，即a的取值范围为?0,???．

⑵ 由已知得：f?x1??f?x2??0，不难发现x1?1，x2?1，

?x1?2?ex故可整理得：?a?2?x1?1?1?x2?2?ex?2?x2?1?2

?x?2?ex设g?x??2，则g?x1??g?x2?

?x?1??x?2??1xe，当x?1时，g'?x??0，g?x?单调递减；当x?1时，那么g'?x??3?x?1?g'?x??0，g?x?单调递增．

设m?0，构造代数式： g?1?m??g?1?m??m?11?m?m?11?m1?m1?m?m?12m?e?e?2e?e?1? m2m2mm?1??2设h?m??则h'?m??m?12me?1，m?0 m?12m2?m?1?2e2m?0，故h?m?单调递增，有h?m??h?0??0．

因此，对于任意的m?0，g?1?m??g?1?m?．

由g?x1??g?x2?可知x1、x2不可能在g?x?的同一个单调区间上，不妨设x1?x2，则必有x1?1?x2

令m?1?x1?0，则有g??1??1?x1????g??1??1?x1????g?2?x1??g?x1??g?x2?

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