课时跟踪检测（六） 数 列
层级一 学业水平达标
1132
1．数列0，，，，，…的通项公式为________．
325301234解析：数列可化为，，，，，…
23456观察可得：an＝
n－1
. n＋1
n－1
答案：an＝
n＋1
2．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有____________个点．
解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，… 则其通项公式为an＝n2， 故第n个图形中的点数为n2. 答案：n2
3．数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则a6＝________. 解析：由题意得a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8. 答案：8
4．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值为________．
解析：由a1·a2·a3·…·an＝n2， 9∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
42561
同理a5＝.∴a3＋a5＝. 161661
答案：
16
5．已知数列{an}满足am·an(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. n＝am·解析：由am·an，得a4＝a2·a2＝9， n＝am·2＝a2·a8＝a2·a4＝3×9＝27. 4＝a2·答案：27
6．数列{an}的通项公式为an＝n2－5n，则{an}的第______项最小．
525n－?2－.∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，∴{an}的第2或3项最解析：an＝??2?4小．
答案：2或3
7．下面五个结论：①数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；②数列的项数是无限的；③数列的通项公式是唯一的；④数列不一定有通项公式；⑤将数列看做函数，其定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})．其中正确的是________(填序号)．
解析：②中数列的项数也可以是有限的，③中数列的通项公式不唯一． 答案：①④⑤
8．已知函数f(x)由下表定义：
x f(x) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2 若a1＝5，an＋1＝f(an)(n＝1,2，…)，则a2 016＝________. 解析：a2＝f(a1)＝f(5)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝1，a4＝f(a3)＝f(1)＝4，a5＝f(a4)＝f(4)＝5，…，可知数列{an}是循环数列周期为4，所以a2 016＝a4×504＝a4＝4.
答案：4
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)是．令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．
10．已知函数f(x)＝2x－2x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
－
(1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列．
解：(1)因为f(x)＝2x－2x，f(log2an)＝－2n，
－
1
所以2log2an－2－log2an＝－2n，所以，an－＝－2n，
an
2所以a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n＋1.
因为an>0，所以an＝n2＋1－n. an＋1?n＋1?2＋1－?n＋1?(2)证明：a＝ nn2＋1－n＝
<1.
?n＋1?2＋1＋n＋1
n2＋1＋n
因为an>0，所以an＋1 所以数列{an}是递减数列． 层级二 应试能力达标 1．若数列{an}满足an＋1＝解析：由an＋1＝3 ＋×16＝13. 4 答案：13 2．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________. 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1?101 ×…×＝5 050. 99 答案：5 050 3．已知数列{an}的通项公式为an＝2 016－3n，则使an≥0成立的最大正整数n的值为________． 解析：由an＝2 016－3n≥0，得n≤∴n的最大值为672. 答案：672 1 4．已知无穷数列an＝n2－λn＋1(n∈N*)是单调递增数列，则λ的取值范围是_______． 23 解析：利用定义，an＋1－an>0对n∈N*恒成立得λ<. 23－∞，? 答案：?2?? 5．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，那么a10＝________. 解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30. 答案：30 6．在数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2，则a4＝________. 解析：当n＝1时，a2＝2a1＋2＝2×2＋2＝6； 当n＝2时，2a3＝3a2＋2＝3×6＋2＝20， ∴a3＝10； 当n＝3时，3a4＝4a3＋2＝4×10＋2＝42， ∴a4＝14. 答案：14 2 016 ＝672. 3 n＋1ana2a3a10034＝，则a100＝a1···…·＝1×× a1a2a9912an－1n－1 4an＋3 (n∈N*)，且a1＝1，则a17＝________. 4 4an＋33 ?an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝144 13 7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－. 24(1)求{an}的通项公式； (2)－ 255 是{an}中的第几项？ 256 (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵an＝pn＋q， 13 又a1＝－，a2＝－， 24 ?∴?3 p＋q＝－，?4 2 1p＋q＝－，2 1??p＝2，解得? ??q＝－1， 1?n 因此{an}的通项公式是an＝??2?－1. (2)令an＝－ 1?n255255 ，即?－1＝－， ?2?256256 1?n1 所以??2?＝256，解得n＝8. 255 故－是{an}中的第8项． 256 1?n?1?n随n的增大而减小，(3)由于an＝?－1，且因此an的值随n的增大而减小，故{an}?2??2?是递减数列． 3n－2 8．已知数列{an}的通项公式为an＝. 3n＋1(1)求证：0 12? (2)在区间??3，3?内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 解：(1)证明：因为an＝ 3n－23 ＝1－. 3n＋13n＋1 又因为n∈N*，所以3n＋1>3， 3 所以0<<1， 3n＋1所以0<1－ 3 <1，即0 12132(2)令
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