课时跟踪检测（五） 绝对值不等式
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知a，b∈R，则使不等式|a＋b|＜|a|＋|b|一定成立的条件是( ) A．a＋b＞0 C．ab＞0
B．a＋b＜0 D．ab＜0
解析：选D 当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当ab＜0时，|a＋b|＜|a|＋|b|，故选D.
???x≥0，x∈R2．设集合A＝{x||4x－1|＜9，x∈R}，B＝?x?
??x＋3?
??
?，则(?RA)∩B＝( ) ??
?5?A．(－∞，－3)∪?，＋∞?
?2??5?B．(－3，－2]∪?0，? ?2??5?C．(－∞，－3]∪?，＋∞? ?2?
D．(－3，－2]
5???5?解析：选A 由题意得A＝?－2，?，B＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(?RA)∩B＝(－∞，－3)∪?，＋∞?.
2???2?3x＋14
3．不等式|x＋2|＞的解集是( )
5A．(－3，－2) C．(0,2)
B．(－2,0)
D．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析：选D 不等式即为5(x＋2)＞3x＋14或5(x＋2)＜－(3x＋14)，解得x＞2或x＜－3，故选D. 4．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集为____________． 解析：不等式|x－1|－|x－5|＜2等价于
??x＜1，???－x－??x＞5，或???x－1－??x＜1，即?
?－4＜2?
＋x－＜2
x－＜2，
??1≤x≤5，
或?
?2x＜8?
??1≤x≤5，或???x－1＋x－5＜2
??x＞5，或?
?4＜2，?
故原不等式的解集为{x|x＜1}∪{x|1≤x＜4}∪?＝{x|x＜4}． 答案：{x|x＜4}
5．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集为________．
解析：不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2. 答案：{x|0＜x＜2}
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·台州联考)不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是( ) A．{x|0≤x＜1}
B．{x|x＜0且x≠－1}
C．{x|－1＜x＜1}
??x≥0，
解析：选D 不等式等价于?2
??1－x＞0
D．{x|x＜1且x≠－1}
??x＜0，
或??＋x?
2
＞0，
解得0≤x＜1或x＜0且x≠－1.故选D.
2．已知a，b∈R，则“|a|＋|b|＞1”是“b＜－1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 令a＝0，b＝2，则|a|＋|b|＞1成立，但推不出b＜－1；反之，若b＜－1，则|b|＞1，又|a|≥0，所以|a|＋|b|＞1.所以“|a|＋|b|＞1”是“b＜－1”的必要不充分条件．
3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( ) A．[－5,7]
C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)
B．[－4,6]
D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析：选D 当x≤－3时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x－x－3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x≤－4.当－3＜x＜5时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x＋x＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x－5|＋|x＋3|＝x－5＋x＋3＝2x－2≥10，即x≥6，∴x≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
4．不等式x－|x－1|－1≤0的解集为( ) A．{x|－2≤x≤1} C．{x|1≤x≤2}
B．{x|－1≤x≤2} D．{x|－1≤x≤1}
2
2
解析：选A 当x－1≥0时，原不等式化为x－x≤0，解得0≤x≤1.∴x＝1； 当x－1＜0时，原不等式化为x＋x－2≤0， 解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1. 综上，－2≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}，故选A.
12
5．(2018·长沙六校联考)设f(x)＝x－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1,3)，若f(7＋|t|)＞f(1
2
a＋t)，则实数t的取值范围为( )
A．(－3,1) C．(－1,3)
B．(－3,3) D．(－1,1)
2
解析：选B ∵f(x)＜0的解集是(－1,3)， ∴a＞0，f(x)的对称轴是x＝1，且ab＝2. ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 又∵7＋|t|≥7,1＋t≥1，
∴由f(7＋|t|)＞f(1＋t)，得7＋|t|＞1＋t. ∴|t|－|t|－6＜0，解得－3＜t＜3. 故选B.
6．已知函数f(x)＝|x＋6|－|m－x|(m∈R)，若不等式f(x)≤7对任意实数x恒成立，则m的取值范围为________．
解析：由绝对值三角不等式得f(x)＝|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|，由题意得|m＋6|≤7，
2
2
2
2
则－7≤m＋6≤7，解得－13≤m≤1，故m的取值范围为[－13,1]．
答案：[－13,1]
7．设|x－2|＜a时，不等式|x－4|＜1成立，则正数a的取值范围为____________． 解析：由|x－2|＜a得2－a＜x＜a＋2， 由|x－4|＜1，得3＜x＜5， 所以－5＜x＜－3或3＜x＜5.
2
2
2
?3≤2－a，
因为a＞0，所以由题意得?
?a＋2≤5.
故正数a的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]
2
解得 0＜a≤5－2，
8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x－4x＋a|＋|x－3|≤5的x的最大值为3，则实数a的值是____________．
解析：∵x≤3，∴|x－3|＝3－x.
若x－4x＋a＜0，则原不等式化为x－3x＋a＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集， ∴x－4x＋a＜0不成立． 于是，x－4x＋a≥0，
则原不等式化为x－5x＋a－2≤0.
∵x≤3，令x－5x＋a－2＝(x－3)(x－m)＝x－(m＋3)x＋3m，比较系数，得m＝2，∴a＝8. 答案：8
9．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]． (1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1， 解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.即|x|＜|a|＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a. (1)求实数a的值； (2)解不等式f(x)≤5.
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a， 从而解得a＝2.
－2x＋6，x≤2，??
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝?2，2＜x≤4，
??2x－6，x＞4.1
故当x≤2时，令－2x＋6≤5，得≤x≤2，
2
2
2
2
2
22
2
当2＜x≤4时，显然不等式成立， 11
当x＞4时，令2x－6≤5，得4＜x≤，
2
???111
故不等式f(x)≤5的解集为?x?≤x≤2??2?
??
?. ??
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?1?2?1?2322
1．(2018·金丽衢十二校联考)设a，b为实数，则“|a－b|＋|b－a|≤1”是“?a－?＋?b－?≤”?2??2?2
的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
12132?1?2?1?2322222
解析：选A ?a－?＋?b－?≤?a－a＋＋b－b＋≤?a－a＋b－b≤1?b－a＋a－b≤1，令b442?2??2?2－a＝x，a－b＝y，则|x|＋|y|≥|x＋y|≥x＋y，所以|x|＋|y|≤1?x＋y≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.
2．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a＞1)．
???15
(1)若不等式f(x)≥2的解集为?x?x≤或x≥22???
2
??
?，求a的值； ??
(2)若对任意的x∈R，都有f(x)＋|x－1|≥1，求实数a的取值范围． 2x－a－1，x≥a，??
解：(1)f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝?a－1，1≤x＜a，
??－2x＋a＋1，x＜1，当x≥a时，由2x－a－1≥2，解得x≥
a＋35
22
＝；
2＝. 2
当x＜1时，由－2x＋a＋1≥2，解得x≤综上得a＝2.
a－11
(2)由x∈R，f(x)＋|x－1|≥1，可得2|x－1|＋|x－a|≥1.当x≥a时，只需3x－2－a≥1恒成立即可，3
此时只需3a－2－a≥1?a≥；当1≤x＜a时，只需x－2＋a≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a≥1?a≥2；
2当x＜1时，只需－3x＋2＋a≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a≥1?a≥2.综上可得，a的取值范围为[2，＋∞)．
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