点集拓扑学

因此，Y是X的一个不连通子集当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A?B?Y.

证明:集合A与集合B在Y中的闭包之交等于集合A,B在X中的闭包，以及集合Y这三个集合之交，也就等于集合A与集合B在X中的闭包之交；同理集合B与集合A在Y中的闭包之交等于集合B与集合A在X中的闭包之交．因此根据隔离子集的定义可见定理的第一个论断成立．定理的第二个论断则根据第一个论断明显地推出． 定理4.1.8 设X是一个拓扑空间，Y?X，则下列条件等价： (l) Y是一个不连通子集；

(2) X中存在着两个闭子集A和B使得Y?A??,Y?B?? ,Y?A?B??和

Y?A?B;

(3) X中存在着两个闭子集A和B使得Y?A??,Y?B?? ,Y?A?B??和

Y'?A?B?X;

(4) X中存在着两个开子集A和B使得Y?A??,Y?B?? ,Y?A?B??和

Y?A?B;

(5) X中存在着两个开子集A和B使得Y?A??,Y?B?? ,Y?A?B??和

Y'?A?B?X.

定理4.1.9 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y?A?B，则或者Y?A，或者Y?B.

证明:如果A和B是X中的隔离子集使得Y?A?B，则

((A?Y)?B?Y)?((B?Y)?A?Y)?(A?Y?B)?(B?Y?A)

?Y?((A?B)?(B?A))??

这说明A?Y和B?Y也是隔离子集．然而(A?Y)?(B?Y)?(A?B)?Y?Y.因此根据定理4.1.7，集合A?Y和B?Y中必有一个是空集．如果A?Y??，据上式立即可见

Y?B，如果B?Y??，同理可见Y?A.

定理4.1.10 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足条件Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集．

证明:假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.7，在X 中有非空隔离子集A和B使得Z?A?B．因此Y?A?B．由于Y是连通的，根据定理4.1.9 ，或者Y?A，或者

Y?B．如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此B?Z?B??同理如果Y?B，则A??．这两种情形都与假设矛盾．

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定理4.1.11 设A,B是拓扑空间X中的两个连通子集，若A,B不是隔离的，则A?B是连通的．

定理4.1.12 设Y??????是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果

Y???????,则

Y?是X的一个连通子集． ????

定理4.1.13设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x,y?Y存在X中的一个连通子集Yxy使得x,y?Yxy?Y，则Y是X中的一个连通子集．

我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见2.2节内容) ．所谓拓

扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是借助于开集或者借助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的像所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．

以下定理4.1.14 指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．

定理4.1.14 设f:X?Y是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．若G是X的连通子集，则f(G)是Y的一个连通子集．

拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n?1个拓扑空间X1,X2,?,Xn都具有性质P，蕴涵着积空间X1?X2???Xn也具有性质P. 例如，容易直接证明，如果拓扑空间X1,X2,?,Xn都是离散空间（平庸空间），则积空间X1?X2???Xn也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3.2.9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质P是一个拓扑不变性质．为了证明性质P是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质P的拓扑空间的积空间也是具有性质P的拓扑空间．

定理4.1.15设X1,X2,?,Xn是n个连通空间．则积空间X1?X2???Xn也是连通空间．

由于n维欧氏空间R是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间R是一个连通空间．

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