(2)设U和V是X中的两个开集．如果x?U?V，那么存在x的一个球形邻域B(x,?1)包含于U，同时也存在x的一个球形邻域B(x,?2)包含于V．根据定理2.2.7(2)，x有一个球形邻域B(x,?)同时包含于B(x,?1)和B(x,?2)，因此:
B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)?U?V
由于U?V中的每一点都有一个球形邻域包含于U?V，所以U?V是一个开集． ( 3 ）设A是一个由X中的开集构成的子集族，如果x??A,那么存在A0?A使得
x?A0．由于A0是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于A0，显然这个球形邻域也包
含于?A．这证明?A是X中的一个开集． 此外，根据定理2.2.7，每一个球形邻域都是开集．
为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.
定义2.2.11 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x?V?U，那么称U是点x的一个邻域．
经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间[a,b),除了a点以外，该区间是其中任意一点的邻域。
下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．
定理2.2.12 设x是度量空间X中的一个点，则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U .
证明：如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V使得x?V?U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U，这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．
现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射． 首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义： 函数f:R?R称为在x0?R处是连续的
????0,???0,使得?x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??
9
????0,???0,使得?x?R，当x0???x?x0??时，恒有
f(x0)???f(x)?f(x0)??
????0,???0,使得?x?(x0??,x0??)，恒有f(x)?(f(x0)??,f(x0)??) ????0,???0,使得f(x0??,x0??)?(f(x0)??,f(x0)??)
定义2.2.13 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．若对于f(x0)的任何球形邻域B(f(x0),?)，都存在x0的某个球形邻域B(x0,?)使得
f(B(x0,?))?B(f(x0),?)
则称映射f在点x0处是连续的．
若映射f在X的每一个点x处连续，则称f是一个连续映射．
以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。
定理2.2.14 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．则下述条件(1)和(2)分别等价于条件(1) 和(2)： (1) f在点x0处是连续的；
**(1)*f(x0)的每一个邻域的原象是x0的一个邻域；
(2) f是一个连续映射；
(2)* Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．
证明：(1)? (1)*设(1)成立．令U为f(x0)的一个邻域，由定理2.2.12 , f(x0)有球
形邻域B(f(x0),?)包含于U．由于f在点x0处是连续的，故x0有一个球形邻域B(x0,?)，使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?)．又f?1(B(f(x0),?))?f?1(U)，故B(x0,?)?f?1(U)
这证明f?1(U)是x0的一个邻域。
10
?1(1)*?(1)设(1)*成立，则对任意给定的f(x0)的球形邻域B(f(x0),?)，f(B(f(x0),?))是x0的一个邻域，根据定理2.2.12, x0有一个球形邻域B(x0,?)包含于
f?1(B(f(x0),?))．因此f(B(x0,?))?B(f(x0,?))．这证明f在点x0处连续．
(2) ?(2) 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且U?f*?1(V).?x?U，我们有
f(x)?V．由于V 是一个开集，所以V 是f(x)的一个邻域．由于f在每一点处都连续，
故根据(1)可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux?U，易见
*U?x?U?Ux．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．
(2)*?(2) 设（2）成立．对于任意x?X，设U是f(x)的一个邻域，即存在包含f(x)的
一个开集V?U．从而x?f所以f?1?1(V)?f?1(U)．根据(2)*,我们知道f?1(V)是一个开集，
(U)是x的一个邻域，因此对于x而言，(1)*成立，于是f在点x处连续。由于点
x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.2.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理2.2.10 ）出发来建立拓扑空间的概念．
定义2.3.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．如果T 满足如下条件： (1)X,??T ；
(2)A,B?T ?A?B?T ； (3) T 1? T ??{A:A?T 1}?T .
那么称T 是X的一个拓扑．如果T 是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间。此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T ）中的一个开集．
现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U属于T ”读做“U是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．
11
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．
定义2.3.2 设（X，?）是一个度量空间．令T 定理2.2.10，T
??为由X中的所有开集构成的集族，根据
是X的一个拓扑．我们称T
?为X的由度量?诱导出来的拓扑，此外我
?们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，?）的拓扑时，指的就是拓扑T 在称度量空间（X，?）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T
?；
).
因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn（特别，欧氏平面R2) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子． 例2.3.3 平庸空间．
设X是一个集合．令T =?X,??，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．
例2.3.4离散空间．
设X是一个集合，令T ＝2，即T 是由X的所有子集构成的族．容易验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集．
例2.3.5 设X＝{ a , b , c } ．令
T ＝{?, {a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．
例2.3.6 有限补空间．
设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为A．令
T =U?2'X?X:U'是有限的????
?可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．
例2.3.7可数补空间. 设X是一个集合．令
T =U?2
?X:U'是可数的????
12
?
相关推荐：
loading