14.2 导数的应用
●知识梳理 1.函数的单调性
（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减 函数.
（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法. ①确定函数f（x）的定义区间.
②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.
③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.
④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.
2.可导函数的极值 （1）极值的概念
设函数f（x）在点x 0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.
（2）求可导函数f（x）极值的步骤. ①求导数f′（x）.
②求方程f′（x）=0的根.
③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.
3.函数的最大值与最小值
（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求y=f（x）在（a,b）内的极值.
②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.
特别提示
我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么
（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.
（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是 f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.
●点击双基
1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数
π3π,） B.（π,2π） 223π5πC.（, ） D.（2π,3π）
22解析：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx－sinx=xcosx,
3π5π当x∈（,）时,恒有xcosx＞0.
22答案：C
2.函数y=1+3x－x3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3
解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.
令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.
∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3. 答案：D
3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0∈（a,b），当x＜x0时，f′（x）＞0;当x＞x0时，f′（x）＜0.则x0是
A.间断点 B.极小值点
C.极大值点 D.不一定是极值点 解析:f（x）在x0处不一定连续. 答案:D
－
4.函数f（x）=ｅx＋ｅx在（０，＋∞）上的单调性是__________.
－－
解析:∵f′（x）=ex－ex=ex（e2x－1）,∴当x∈（0,+∞）时，f′（x）＞0. ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数（fx）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________ _____________________.
解析:f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数, ∴f′（x）＞0在R上恒成立， 即3x2+2x+m＞0.
1由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.
31答案:m＞
3●典例剖析
A.（
【例1】 求函数y=2x?4?x?3的值域.
剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求
解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.
?2x?4?0解:函数的定义域由?求得x≥－2.
x?3?0?求导得y′=
12x?4－
12x?3
=
2x?3?2x?422x?4?x?3.
由y′＞0得2x?3＞2x?4,
?2x?4?0?即?x?3?0解得x＞－2,即函数y=2x?4－x?3在（－2,+∞）上是增函?4(x?3)?2x?4,?数.
又此函数在x=－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f（－2）=－1. ∴函数y=2x?4－x?3的值域是［－1,+∞）.
评述:函数y=f（x）在（a,b）上为单调函数，当在［a,b］上连续时，y=f（x）在［a,b］上也是单调函数.
【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1, （1）试求常数a、b、c的值；
（2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.
剖析:考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值.
（1）解法一:f′（x）=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点, ∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知?2b??0,??3a??c??1??3a① ②又f（1）=－1,∴a+b+c=－1.
③
13,b=0,c=－. 22解法二:由f′（1）=f′（－1）=0,
得3a+2b+c=0,
由①②③解得a=①
3a②
－2b+c=0.
又（f1）=－1,∴a+b+c=－1. ③
13,b=0,c=－. 2213333（2）解:f（x）=x3－x,∴f′（x）= x2－= （x－1）（x+1）.
22222当x＜－1或x＞1时,f′（x）＞0;当－1＜x＜1时，f′（x）＜0. ∴x=－1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.
1【例3】 已知函数f（x）=2ax－2,x∈（0,1］.
x（1）若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围； （2）求f（x）在区间（0,1］上的最大值.
剖析:（1）要使f（x）在（0,1］上为增函数，需f′（x）＞0,x∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.
2解:（1）由已知可得f′（x）=2a+3,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,
x1即a＞－3, x∈（0,1］.∴a＞－1.
x2当a=－1时，f′（x）=－2+3对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］
x上为增函数，
∴a≥－1.
（2）由（1）知,当a≥－1时,f（x）在（0,1］上为增函数, ∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.
由①②③解得a=
当a＜－1时，令f′（x）=0得x=
13?a,
∵0＜
13?a＜1,∴0＜x＜
13?a时,f′（x）＞0;
13?a＜x≤1时，f′（x）＜0.∴f（x）
在（0,
13?a）上是增函数，在（
13?a,1]减函数.
∴［f（x）］max=f （13?a）=－33a2.
评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.
深化拓展
（1）也可用函数单调性的定义求解.
思考讨论
函数f（x）在区间D上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练 夯实基础
1.下列各式正确的是
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