2010届一轮复习高三数学第十三编算法初步、推理与证明、复数数学归纳法

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2010届步步高一轮复习高三数学第十三编算法初步、

推理与证明、复数数学归纳法

基础自测

2

+1

1.用数学归纳法证明：“1+a+a+?+an=

（ ）

B.1+a

1?an?2(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为 1?aA.1 答案

C

C.1+a+a

2

D.1+a+a+a

23

2.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是( )

A.P（n）对n∈N+成立 B.P(n)对n＞4且n∈N+成立 C.P（n）对n＜4且n∈N+成立 D.P（n）对n≤4且n∈N+不成立 答案 D

2

3.用数学归纳法证明1+2+3+?+n=

2

n4?n2，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 2

( )

A. k+1 C.

2

B.( k +1)

2

2

(k?1）4?(k?1)22D.（k+1）+（k+2）+（k+3）+?+（k+1）

22

答案 D

1111+ ++?+，则 n?1n?2nn24.已知f(n)=

( )

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A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=

11+ 23111++ 23411+ 23111++ 234B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= C.f(n)中共有n-n项，当n=2时，f(2)=

22

D.f(n)中共有n-n+1项，当n=2时，f(2)=

答案 D

5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是

A.

（ ）

假设n= k（k?N+），证明n= k +1命题成立

B.假设n= k( k是正奇数)，证明n= k+1命题成立 C.假设n=2 k+1( k?N+),证明n= k+1命题成立 D.假设n= k( k是正奇数)，证明n= k+2命题成立 答案 D

例1 用数学归纳法证明:

对任意的n∈N+,

11n1++?+=. 1?33?5(2n?1)(2n?1)2n?1证明 （1）当n=1时,左边=右边=

11=, 1?3311=,左边=右边,

2?1?13所以等式成立.

（2）假设n=k(k∈N+)时等式成立,即有 11k1++?+=, 1?33?5(2k?1)(2k?1)2k?1则当n=k+1时,

1111++?++ 1?33?5(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?3)第 2 页 共 12 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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=

k(2k?3)?1k1+= 2k?1(2k?1)(2k?3)(2k?1)(2k?3)2k2?3k?1k?1k?1===, (2k?1)(2k?3)2k?32(k?1）?1所以当n=k+1时,等式也成立.

由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立.

例2 试证：当n为正整数时，f(n)=3n-8n-9能被64整除. 证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=3-8-9=64, 命题显然成立.

（2）假设当n=k (k≥1,k∈N+)时， f(k)=3k-8k-9能被64整除. 由于3

2(k+1)+22+2

4

2+2

-8(k+1)-9=9(3k-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3k-8k-9)+64(k+1)

2+22+2

即f(k+1)=9f(k)+64(k+1) ∴n=k+1时命题也成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N+，命题都成立. 方法二 （1）当n=1时，f(1)=3-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n=k (k≥1,k∈N+)时，f(k)=3k-8k-9能被64整除.

由归纳假设，设3k-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将3k=64m+8k+9代入到f(k+1)中得 f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1), ∴n=k+1时命题成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N+,命题都成立.

1112n?1）（1+）?（1+）＞均

2n?13522+2

2+2

2+2

4

例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+成立.

证明 （1）当n=2时，左边=1+∵左边＞右边，∴不等式成立.

（2）假设n=k (k≥2,且k∈N+)时不等式成立，

145=；右边=. 332第 3 页 共 12 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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即（1+

1112k?1）（1+）?（1+）＞.

2k?1352则当n=k+1时， （1+

1111）（1+）?（1+）＞[1?]

2k?1352(k?1)?14k2?8k?42k?22k?22k?1＞·==

2k?122k?1222k?1＞

4k2?8k?322k?1=

2k?32k?122k?1=

2(k?1)?12.

∴当n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.

例4 （12分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-1bn. 22

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较?a2?a5?12解 （1）由已知得?,

?a2a5?271与Sn+1的大小，并说明理由. bn又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9. ∴d=

a5?a29?3 ==2，a1=1.

3312bn，∴b1=， 231bn-1, 2 2分

∵Tn=1-

当n≥2时，Tn-1=1-∴bn=Tn-Tn-1=1-化简，得bn=

11bn-(1-bn-1), 22

5分

1bn-1, 3∴{bn}是首项为2?1?即bn=·??3?3?21,公比为的等比数列， 33=

n?123n,

6分

∴an=2n-1，bn=

23n.

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