?12???1?2???法二：在A?两边同时左乘逆矩阵A?1得， ???06??03??1?2??12??1??A?03?． …… 4分 ?06??????ab??12??ab???1?2?设A?1??，则??06???cd??03?，
??cd??????所以?a?1，?2a?3b?2，?c?0，?2c?3d?6． …… 6分 ??10?解得a??1，b?0，c?0，d?2，从而A?1???． …… 10分 02??
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?2312??x??2?2l，?x?8t，在平面直角坐标系xOy中，已知直线?（l为参数）与曲线?（t为参数）
??y?2l?y?t?2相交于A，B两点，求线段AB的长．
12??x?8t，解：法一：将曲线?（t为参数）化为普通方程为y2?8x． …… 3分
??y?t?3?2l，x???22 将直线?（l为参数）代入y2?8x得，
?y?2l?2l2?82l?24?0， …… 6分
解得l1?22，l2?62．
则l1?l2?42，
所以线段AB的长为42． …… 10分 12??x?8t， 法二：将曲线?（t为参数）化为普通方程为y2?8x， …… 3分
??y?t?23?x??2?2l， 将直线?（l为参数）化为普通方程为x?y?3?0， …… 6分
2?y?2l?219?y2?8x，??x?2，??x?2，? 由?或? 3?0得，?x?y?????y?2?y?6.?2 所以AB的长为
?9?122???6?2?22?42． …… 10分
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
?1?1≥xy?yz?zx． 设x，y，z均为正实数，且xyz?1，求证：133xyyzz3x证明：因为x，y，z均为正实数，且xyz?1，
?xy≥2?2yz，1?yz≥2?2xz，1?xz≥2?2xy． …… 8分 所以1333xyzxyyzzx?1?1≥xy?yz?zx． …… 10分 所以133xyyzz3x
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ．．．．．．． 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望． 解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，
则事件A的对立事件A为：“没有1首原创新曲被演唱”．
4C5 所以P(A)?1?PA?1?4?13．
C814?? 答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为13． …… 4分
14 （2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0，1，2，3．
依题意，X?ax?2a?4?x?，故X的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．
4C5 则P(X?8a)?P(x?0)?4?1，
C8143C13C5 P(X?7a)?P(x?1)?4?3，
7C822C3C P(X?6a)?P(x?2)?45?3，
7C81C33C5 P(X?5a)?P(x?3)?4?1．
14C8从而X的概率分布为：
X 8a 7a 6a 5a
1 3 3 1 P 14 7 7 14 …… 8分
所以X的数学期望E?X??8a?1?7a?3?6a?3?5a?1?91a．…… 10分
14771414
23．（本小题满分10分）
a2，???，an?经m次变换后得到数组bm，1，n?N*． 设n≥2，有序数组?a1， bm，2，???，bm，n，
??bm，i?bm?1，i?bm?1，i?（bm?1，n?1?bm?1，1(m≥2)．其中b1，i?ai?ai?1，2，n）， an?1?a1，???，1i?1，2，3?经1次变换后得到数组?1?2，2?3，3?1?，即?3，5，4?；经第 例如：有序数组?1，9，7?． 2次变换后得到数组?8， （1）若ai?i (i?1，2，???，n)，求b3，5的值；
j （2）求证：bm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n．
j?0m （注：当i?j?kn?t时，k?N*，t?1，2，???，n，则ai?j?at．） 2，3，4，5，6，7，8，???，n? 解：（1）依题意，?1，57，9，11，13，15，???，n?1?， 经1次变换为：?3，，12，16，20，24，28，???，n?4?， 经2次变换为：?8，28，36，44，52，???，n?12?， 经3次变换为：?20， 所以b3，5?52． …… 3分
j （2）下面用数学归纳法证明对m?N，bm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n．
*mj?0 （i）当m?1时，b1，i?ai?ai?1??ai?jC1j，其中i?1，2，???，n，结论成立；
j?0k1 （ii）假设m?k (k?N)时，bk，i?*?aj?0i?jCkj，其中i?1，2，???，n． …… 5分
则m?k?1时，bk?1，i?bk，i?bk，i?1
??ai?jC??ai?j?1Ckj
jkj?0j?0kk?1j?1kk ??ai?jC??ai?jCkj?1
jkj?0kk ?aiC??ai?j?Ckj?Ckj?1??ai?k?1Ck
0kj?1 ?aiC0k?1k?1??ai?jCkj?1?ai?k?1Ck?1 j?1k ??ai?jCkj?1，
j?0k?1 所以结论对m?k?1时也成立．
j 由（i）（ii）知，m?N，bm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n． …… 10分
*mj?0
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