直线与圆位置关系
一．课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
二．知识框架
相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理
相切
直线与圆 代数法 求切线的方法
几何法 圆的切线方程
过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程
三．直线与圆的位置关系及其判定方法
1.利用圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大小来判
定。
（1）d?r?直线与圆相交 （2）d?r?直线与圆相切 （3）d?r?直线与圆相离
2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。 （1）有两个公共解（交点），即??0?直线与圆相交 （2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即??0?直线与圆相切 （3）无解（交点），即??0?直线与圆相离 3.等价关系
相交?d?r???0 相切?d?r???0 相离?d?r???0 练习
（位置关系）1.已知动直线l:y?kx?5和圆C:(x?1)?y?1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？
（位置关系）2.已知点M(a,b)在圆O:x?y?1外，则直线ax?by?1与圆O的位置关
2222系是（）
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
（最值问题）3.已知实数x、y满足方程x?y?4x?1?0，
22y的最大值和最小值； x（2）求x?y的最大值和最小值；
（1）求
（3）求x?y的最大值和最小值。
〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。?转化为求斜率的最值；?转化为求直线y?x?b截距的最大值；?转化为求与原点的距离的最值问题。
（位置关系）4.设m,n?R，若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)?(y?1)?1相切，则m?n的取值范围是（）
（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2?y2?4上有且仅有四个点到直线 12x?5y?c?0的距离为1，则实数c的取值范围是
6．直线3x?y?23?0截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )
A、
2
2
2222???? B、 C、 D、 643222（位置关系）7．圆x?y?2x?2y?1?0上的点到直线x?y?2的距离最大值是（ ）
A．2 B．1?2 C．1?2 D．1?22 2（最值问题）8.设A为圆(x?2)2?(y?2)2?1上一动点，则A到直线x?y?5?0的最大距离为______.
9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x?4y?4?0与圆C相切，则圆
C的方程为（ ） A．x?y?2x?3?0
C．x?y?2x?3?0
2222B．x?y?4x?0 D．x?y?4x?0
222210.若曲线y?1?x2与直线y?x?b始终有两个交点，则b的取值范围是__________. （对称问题）11.圆C1:(x?3)?(y?1)?4关于直线x?y?0对称的圆C2的方程为:( )
22 A. (x?3)?(y?1)?4 B. (x?1)?(y?3)?4 C. (x?1)?(y?3)?4 D. (x?3)?(y?1)?4
2212. 直线y?kx?3与圆(x?2)?(y?3)?4相交于M,N两点，若|MN|?23，
22222222则k的取值范围是( ) A．[?,0]
2
34B．[?33,] 332
C．[?3,3]
D．[?,0]
2313.圆C：(x－1)＋(y－2)＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．
[解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点， ??2x＋y－7＝0由?得交点M(3,1)． ?x＋y－4＝0?
22
又∵(3－1)＋(1－2)＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．
22
又|CM|＝(3－1)＋(1－2)＝5，
22∴弦长为l＝2r－|CM|＝225－5＝45.
四．计算直线被圆所截得的弦长的方法
1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt?计算，即AB?2r?d 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即
22AB?k2?1xA?xB?(k2?1)(xA?xB)2?4xAxB
（注：?当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；
??（ ?弦中点坐标为
练习
xA?xByA?yB,），求解弦中点轨迹方程。） 22221.直线y?2x?3被圆x?y?6x?8y?0所截得的弦长等于（） 2.过点(2,1)的直线中被圆x?y?2x?4y?0截得的弦长最大的直线方程
是( )
A.3x?y?5?0 B. 3x?y?7?0 C. x?3y?5?0 D. x?3y?5?0
3.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y?x?1被圆C所截得的弦长为
2222，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为（）
4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)＋(y＋3)＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为( ) 3335A. B. C．25 D. 245
5.已知圆C:(x?3)?(y?4)?4和直线l:kx?y?4k?3?0
（1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交;
(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.
22
6.若曲线x＋y＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为
1
( )A．1 B．－1 C. D．2
27.已知过点M??3,?3?的直线l与圆x2?y2?4y?21?0相交于A,B两点，
（1）若弦AB的长为215，求直线l的方程； （2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．
解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x??3，此时有y?4y?12?0，弦
22
2
22|AB|?|yA?yB|?2???6??8，所以不合题意．
故设直线l的方程为y?3?k?x?3?，即kx?y?3k?3?0．
将圆的方程写成标准式得x??y?2??25，所以圆心?0,?2?，半径r?5．
22圆心?0,?2?到直线l的距离d?|3k?1|k?12，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以
??152?3k?1??k2?12?25，即?k?3??0，所以k??3．
2所求直线l的方程为3x?y?12?0．
（2）设P?x,y?，圆心O1?0,?2?，连接O1P，则O1P?AB．当x?0且x??3时，
kO1P?kAB??1，又kAB?kMP?y?(?3)，
x?(?3)22y???2?y???3?3??5?5?则有．．．．．（1） ???1，化简得?x????y???．
x?0x???3?2??2?2?当x?0或x??3时，P点的坐标为?0,?2?,?0,?3?,??3,?2?,??3,?3?都是方程（1）
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