2.聚焦绝对值
解读课标
绝对值是数学中的一个基本概念,这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础;绝对值又是数学中的一个重要概念,绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等,在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用.理解、掌握绝对值应注意以下几个方面:
1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法. 2.恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a表示数a的点到原点的距离;a-b表示数a、数b的两点间的距离. 3.灵活运用绝对值的基本性质
aa①a30;②a=a=a;③ab=a?b;④=(b?0).
bb222问题解决
例1 已知y=x-b+x-20+x-b-20,其中0
(“CASIO杯”河南省竞赛题)
20,那么y的
试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性,再去掉绝对值符号.
例2 式子A.2个
abab的所有可能的值有(). ++abab
B.3个
C.4个
D.无数个
试一试根据a、b的符号所有可能情况,去掉绝对值符号,这是解本例的关键.
例3 (1)已知ab-2+a-2=0,求
1111的值. +++?+ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)a+2006b+2006()()(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)
(2)设a、b、c为整数,且a-b+c-a=1,求c-a+a-b+b-c的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
试一试对于(1),由非负数的性质先导出a、b的值;对于(2),1写成两个非负整数的
和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口. 例4 阅读下列材料并解决有关问题:
ì?x(x>0)??我们知道x=?í0(x=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化
?????-x(x<0)简代数式x+1+x-2时,可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-1,x=2(称-1,2分别为x+1与x-2的零点值).在有理数范围内,零点值x=-1,x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)x<-1;(2)-1≤x<2;(2)x≥2.从而化简代数式x+1+x-2可分以下3种情况:
(1)当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1; (2)当1≤x<2时,原式=x+1-(x-2)=3; (3)当x≥2时,原式=x+1+x-2=2x-1.
ì?-2x+1(x<-1)??综上所述,原式=?(-1?x2) í3?????2x-1(x32)通过以上阅读,请你解决以下问题: (1)分别求出x+2和x-4的零点值; (2)化简代数式x+2+x-4的值.
(云南省中考题)
试一试在阅读理解的基础上化简求值.
例5 (1)当x取何值时,x-3有最小值?这个最小值是多少? (2)当x取何值时,5-x+2有最大值?这个最大值是多少? (3)求x-4+x-5的最小值.
(4)求x-7+x-8+x-9的最小值.
分析对于(3)、(4)可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号,再求最小值;也可利用绝对
值的几何意义,即在数轴上找一表示x的点,使之到表示4、5的点(或表示7、8、9的点)的距离和最小.
解(1)当x=3,原式有最小值,最小值为0. (2)当x=-2时,原式有最大值,最大值为5. (3)当4≤x≤5时,原式有最小值,最小值为1. (4)当x=8时,原式有最小值,最小值为2.
对于(3),给出另一种解法:
当x≤4时,原式=-(x-4)-(x-5)=9-2x,最小值为1; 当4<x≤5时,原式=x-4-(x-5)=1,最小值为1; 当x>5时,原式=x-4+x-5=2x-9,最小值为1. 综上所述,原式有最小值等于1.
以退为进
例6 少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是:输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后则显示现x1-x2的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后显示的最后结
果设为P,试求出P的最大值,并说明理由.
解由于输入的数都是非负数,当x1≥0,x2≥0时,x1-x2不超过x1、x2中最大的数,对x1≥0,x2≥0,x3≥0,则x1-x2-x3不超过x1、x2、x3中最大的数,设小明输入这1991个数的次序是x1、x2、?、x1991.相当于计算:?x1-x2-x3?-x1990-x1991=P,因此P的值≤1991.
另外从运算奇偶性分析,x1、x2为整数,x1-x2与x1+x2奇偶怕相同,因此P与x1+x2+?+x1991的奇偶性相同.
但x1+x2+?+x1991=1+2+?+1991=偶数.于是断定P≤1990.我们证明P可以取到1990. 对于1,2,3,4,按如下次序:1-3-4-2=0,
(4k+1)-(4k+3)-(4k+4)-(4k+2)=0,对于k=0,1,2,?均成立.
因此,1~1988可按上述办法依次输入显示结果为0,而后1989-1990-1991=1990,故P的最大值为1990.
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1.数a在数轴上的位置如图所示,且a+1=2,
a01
则3a+7=________.
2.已知a=5,b=3,且a-b=b-a,那么a+b=_________.
3.化简
11111111=________. -+-+---20042003200320022002200120012004(北京市竞赛题)
4.已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示:
-1c0ab
则c-1+a-c+a-b化简后的结果是________.
5.已知整数a1,a2,a3,a4,?满足下列条件:a1=0,a2=-a1+1,a3=-a2+2,. a4=-a3+3,?,依次类推,则a2012的值为()A.-1005
B.-1006
C.-1007
D.-2012
(2012年江苏省盐城市中考题)
6.已知a=-a,化简a-1-a-2所得的结果是(). A.-1
B.1
C.2a-3
D.3-2a
7.若m是有理数,则m-m一定是(). A.零 B.非负数 8.有理数a、b、c的大小关系如图:
C.正数
D.负数
ab0c
则下列式子中一定成立的是(). A.a+b+c>0
B.a+b C.a-c=a+c D.b-c>c-a (“希望杯”邀请赛试题) 9.化简 (1)3-x; (2)x+1+x+2. 10.阅读下面材料并回答问题. O(A)0图①BbOAB0ab图②OBAba0图③
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