直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识概述

1、直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一. 考虑.

（1）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得 的情况来判

断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，

可从代数与几何两个角度

2 2 x y

而对双曲线方程来讲未必，例如：y=kx + m代入二一：=1中消y后整理得：（b2— a2k2）x2

i

—2a2kmx — a2m2— db2=0 ①，当k= 土一:■■时，该方程为一次方程，此时直线 y=kx + m

b

与双曲线的渐近线平行，当 k^±时，方程①为二次方程，这时可以用判别式来判断直 线与双曲线的位置关系.

（2）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共 点，具体如

下：

① 直线与圆锥曲线的相离关系， 常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大 值或最小值来解决.

② 直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线， 表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对 称轴平行.

③ 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点， 锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.

表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆

2、弦长公式：设弦 AB端点坐标为（xi, yi）、（ X2, y2），直线AB的斜率为k,贝V:

I AB 1= Jl 十 Q IX! - |= + + -4魂忧］

3、 利用 点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标)

――代入(即将端点代入曲线方程) 的关系。

一一作差(即两式相减)一一得出中点坐标与斜率

4、 会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、 弦的中点的轨迹等.

二、重难点知识剖析

1、 直线和圆锥曲线的交点问题 设直线 I: Ax + By + C=0 与二次曲线 C: f(x, y)=0

(Ax^By^C= 0

(1) 应.

交点个数与方程组I ■ ' ■ - 1 (*)有几组解一一对

(2) 交点坐标即为(*)的解，I与C有一个公共点时，I与C相交或相切.

(3) 注意消元后非二次的情况

如直线I: Ax + By + C=0.圆锥曲线方程 f(x, y)=0 .

fAx^By+C= 0

= O 消元(x或y)，如消去y后得：ax2 + bx + c=0,若a=0时，当圆锥 曲线是双曲线

时；直线I与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 I与抛物线的对称轴平行(或重合).

(4) 直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形.

例1、已知双曲线x2— y2=4，直线I: y=k(x + 1)，讨论直线与双曲线公共点个数.

2、 直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线I : y=kx + b,与二次曲线C : (x, y)=0交于A、B两点，由-丨得:

ax2 + bx + c=0 （a 工 0）则

(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以便简化计算.

例2、如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB的中点 在直线x=2上，求弦AB的长.

三、直线与圆锥曲线的中点问题

解决这类问题主要有如下两种方法: (1)韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程,

利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解.

(2)平方差”法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B , 一般地首先设出交点坐 标, B(x2,y2),代入曲线方程，通过作差，构造出 y2,

从而建立了中点坐标和斜率的关系.

xi + X2, yi + y2, xi — X2, y 1—

例3、一中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线 x+ y—仁0相交于A、B、C是AB

中点，若|AB|=2人，OC的斜率为匚，求椭圆的方程?

1、已知对 k � R，直线y— kx—仁0与椭圆

围是

x2

2

+ — =1恒有公共点，则实数

m

m的取值范

A.( 0, 1) C.[ 1, 5)U( 5, +s)

2 2

B. ( 0, 5) D . : 1, 5)

2、已知(4,2)是直线I被椭圆36+^9 =1所截得的线段的中点，则I的方程是