2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题2.4 函数的图象（讲） 含解析

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题2.4 函数的图象

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数； 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

知识点一 利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

知识点二 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

(2)对称变换

关于x轴对称

y＝f(x)的图象――→y＝－f(x)的图象； 关于y轴对称

y＝f(x)的图象――→y＝f(－x)的图象； 关于原点对称

y＝f(x)的图象――→y＝－f(－x)的图象；

关于直线y＝x对称

y＝a(a>0，且a≠1)的图象――——————————→y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.

x

(3)伸缩变换

纵坐标不变

y＝f(x)―——————————————————―→y＝f(ax).

1

各点横坐标变为原来的（a>0）倍

a横坐标不变

y＝f(x)―——————————————————―→y＝Af(x).

各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍(4)翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

y＝f(x)的图象―————————————————―→y＝|f(x)|的图象；

x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧

y＝f(x)的图象―————————————————―→y＝f(|x|)的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变【特别提醒】记住几个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.

(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

考点一 由函数式判断图像

【典例1】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=

sinx?x在[??,?]的图像大致为（ ） 2cosx?xB．

A．

C． D．

【答案】D 【解析】由f(?x)?sin(?x)?(?x)?sinx?x???f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．

cos(?x)?(?x)2cosx?x2ππ2?4?2π?1,f(π)?π?0，可知应为D选项中的图象． 又f()?22π22π?1?π()21?故选D．

【方法技巧】解决此类问题常有以下策略：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．

2x3【变式1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数y?x在??6,6?的图像大致为（ ） ?x2?2

A． B．

C． D．

【答案】B

2x32(?x)32x3【解析】设y?f(x)?x，则f(?x)??x??x??f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关?xx?x2?22?22?2于原点成中心对称，排除选项C．

2?43又f(4)?4?0,排除选项D； ?42?22?63f(6)?6?7，排除选项A， ?62?2故选B．

考点二 助动点探究函数图象

【典例2】（2019·江西临川一中模拟） 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为( )

【答案】A

【解析】根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函―→―→―→―→―→

数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设O2P与O2O1的夹角为θ，∵|O2P|＝1，|O2O1 |＝2，θ＝x－π，∴y＝(O2P－―→―→―→―→―→O2O1)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，O1P＝OP－OO1，设OPx－2π?1―→―→―→―→―→

与OO1的夹角为α，|OP|＝2，|OO1|＝1，α＝π－?＝2π－x，∴y＝|O1P|2＝(OP－OO1)2＝5－4cos α＝5－4cos

2?2?x

，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A. 2

【方法技巧】求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择．

【变式2】（2019·福建仙游一中模拟）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )

【答案】B

ππ3ππ

0，?时，f(x)＝tan x＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A、C。当x∈?，?时，f??【解析】当x∈??4??44??4?3π??π?＝22.∵22＜1＋5，∴f?π?＜f?π?＝f?3π?，从而排除D，故选B. ＝f?＝1＋5，f?4??2??2??4??4?

考点三 考查图象变换

【典例3】（2019·安徽安庆一中模拟）已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是( )