《音乐》作业题
陕西师大远程教育学院数学本科函授生作业
《实变函数论》
一、判断题（每题2分， 共20分）
1. 代数数全体成一可数集。 （ ）
2. 任何无限集合都至少包含一个可数集合。 （ ） 3. 可数集合的任何无限子集必为可数集合。 （ ） 4. 实数列全体E?的基数为c （ ） 5. 设A，B为两个集合，如果A?B?c，则A?c或B?c。 （ ） 6. 设?是定义在集合A上的函数，则
?(?Ai)???(Ai),?(?Ai)???(Ai)， （ ）
i?1i?1i?1i?1????任意多个开集的交仍为开集。 （ ） 任意多个开集的并仍为开集。 （ ） 集合E的边界点一定为聚点。 （ ） 任意多个闭集的并仍为闭集。 （ ） 任意多个闭集的交仍为闭集。 （ ） 不存在没有内点的完备集。 （ ） 零测度集之任何子集仍为零测度集。 （ ） 开集、闭集以及它们的任意并、任意交都是可测集。 （ ） 直线上不存在不测集。 （ ） 连续函数一定是可测函数。 （ ） 如果函数可测，则函数一定L可积。 （ ） 零测度集上的任意函数都是可测函数。 （ ） 凡外测度为零之集都是可测集。 （ ） 有限个或可数个零测度集之和仍为零测度集。 （ ） 如果函数列测度收敛，则一定不是几乎处处收敛。 （ ） 如果函数列测度收敛，则几乎处处收敛。 （ ） 可测函数基本上是连续函数。 （ ） 单调集列一定收敛 。 （ ）
直线上任一非空开集都可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间之并。 （ ）
二、证明题和计算题
1. 证明：可数点集的外测度为零。
2. 证明：(?A?)?B????7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
(A??B) ?????c?3. 设S为全集，证明： (?Ai)??Aic。
i?1i?11
《音乐》作业题
4. 试找出使（0，1）和[0，1]之间一一对应的方法。 5. 试找出使（a，b）和[c，d]之间一一对应的方法。 6. 作出一个(?1,1)和(??,??)的一一对应，并写出其表达式。 7. 设E?{(x,y)|x?y?1}，求E在R内的E?,E,E。 8. 设E1是[0,1]中的全部有理数，求E1在R内的E1,E1,E1。 9. 设E1是[0,1]中的全部无理数，求E1在R内的E1,E1,E1。
10. 设f是(??,??)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E?{x|f(x)?a}是
一个开集。
11. 设f是(??,??)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E?{x|f(x)?a}是
一个开集。
12. 设f是(??,??)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E?{x|f(x)?a}是
一个闭集。
13. 设f是(??,??)上的实值连续函数，则对于任意常数a，E?{x|f(x)?a}是
一个闭集。
14. 若m*E?0，则E可测。
15. 设f是E上的函数，如果对于任一有理数r，集E[f?r]可测，问f是否可测，
若不可测，举出反例。
16. 设S1,S2,?,Sn是一些互不相交的可测集，Ei?Si,i?1,2,?,n，求证：
11
222?????m*(E1?E2???En)?m*E1?m*E2???m*En
17. 设mE???，f(x)在E上可积， en?E(|f|?n)，证明：limnmen?0。
n18. 设E?Rp，若对于任意??0，存在开集G?E, 使m*(G?E)??,则E是可
测集。
19. 设E是直线上的有界集合，m*E?0，则对于任意小于m*E的正数c，恒有E的子集E1，使m*E1?c。
20. 设f,g是E上的函数，且f?0,g?0，则对于任意自然数n，在E上
[f(x)?g(x)]n?[f(x)]n?[g(x)]n?[f(x)?g(x)]2n 成立。
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《音乐》作业题
21.设Cantor集P0上定义函数f(x)?0，而在它的余集中长为义为n(n?1,2,?), 试求f(x)在[0,1]上的积分。 22. 设P0为Cantor集, 函数f(x)??P0(x)tanx?ex, 求?[0,1]1的构成区间上定3nf(x)dx.
23. 设在可测集E上fn(x)?f(x)，fn(x)?g(x)，则f(x)?g(x)在E上几乎处
处成立。
24. 设En?En?1且En可测(n?1,2,?), E??En, 函数f在E上可积, 证明:
n?1?lim?n??Enf(x)dx??f(x)dx.
E25. 设{fn}是E上的可测函数列，证明:
??|f(x)|dx???Enn?1n?1??E|fn(x)|dx.
26. 设在E上, fn(x)?f(x)且fn(x)?g(x)(n?1,2,?)，则f(x)?g(x)在E上几
乎处处成立.
27. 设f在E上L-可积，En?E,mEn?n?1lnn(?n?N), 求lim?n??Enf(x)dx
28. 设{fn}是E上的可测函数列,证明:
??|f(x)|dx???Enn?1n?1??E|fn(x)|dx.
三、简答题
1. 试述直线上的开集、闭集及完备集的构造. 2. 试述可测函数与连续函数的联系．
3. 试述Riemann积分与Lebesgue积分关系． 4. 试述可测函数与可积函数的关系． 5. 试述可测集的定义及其与闭集的关系． 6. 试述可数集的定义与基本运算性质. 7. 试述可测集的定义及其与开集的关系． 8. 试述可测集的定义及其与F?-型集的联系． 9. 试述可测集与G?-型集的联系．
10. 试述可测函数与简单函数的关系．
11. 试述几乎处处收敛和一致收敛之间的关系.
陕西师大远程教育学院数学本科函授生作业
《初等数论》
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《音乐》作业题
一、 判断题，对者划“ √”，错者划“ ×”。 1. 存在无穷多个形如4n?1的素数。 2. [?x]??[x]。
3. 7/60可表成混循环小数。 4. 若ac?bc(modm)，则a5. 不定方程ax?by?c有解的充要条件为(a,b)?b(modm)。
?1 。
?1,则(a?b,a?b)?1。
6. 大于1的整数至少有一个质因数。 7. 若(a,b)8. 若a2?b2(modm)，则a?b(modm)。 9. 1, -1是模6的简化剩余系。
?9(mod15)的解数为3。
10. 一次同余式24x11. 若a2|b2 ，则a|b。 12. 质数的个数是无限的。
y}?{x}?{y}。 14. 若a?b(modm)，则a2?b2(modm)。
13. {x?15. 若n?2，则?(n)必为偶数。
??(m)
?1,则a?b(modm)。
16. 若m为奇数，则?(2m)17. 若ac?bc(modm),(c,m)18. 同余式10x二、填空题 1.若(a,b)6?3x3?1?0(mod5)的解数至多是3。
?1,m?0,则(am,bm)? 。 2.梅森数Mp? 。
1433. 2520的标准分解式为 。4. 3147的末位数是 。
5.不超过720且与720互素的正整数的个数为 。 6.模7的绝对最小完全剩余系是 。 7.若(2a,2b)8.若Fn?2，则(a,b)? 。2.[513，135]= 。
n?22?1是合数，则最小的n是 。
?
9.模5的绝对最小完全剩余系是 。10.?(3120)11.设a,b为任意两个正整数，且(a,b)?1，则[a,b]? 。
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