s=(pi/2+(h1-k*x-0.6)/0.6*sqrt(1-((h1-k*x-0.6)/0.6)^2)+asin((h1-k*x-0.6)/0.6))*0.89*0.6 ;
v(i)=pi*0.6*0.89*2.45-int(s,x,0,(1.2-h)/k+2.05); i=i+1; end end v=eval(v')
经运行求解得到结果如下表：
表2 罐容表标定表
1 油高/cm
罐内油量/L 3.536 油高/cm
11
罐内油量/L 84.416
2 6.271 12 100.273
3 9.984 13 117.767 23 368.161 33 701.544 43 53
4 14.767 14 136.942 24 398.547 34 737.977 44 54
5 20.703 15 157.837 25 429.675 35 774.876 45 55
6 27.868 16 180.277 26 461.509 36 812.222 46 56
7 36.332 17 204.017 27 494.015 37 849.994 47 57
8 46.159 18
9 57.411 19
10 70.146 20 281.875 30 595.264 40 965.680 50 60
228.924 254.903 28 29 527.162 560.921 38 39 888.173 926.741 48 58
49 59
21 22 油高/cm
罐内油量/L 309.779 338.557 31 32 油高/cm
罐内油量/L 630.165 665.599 油高/cm 油高/cm
41 51
42 52
1004.973 1044.603 1084.554 1124.810 1165.355 1206.174 1247.253 1288.576 1330.130 1371.900 罐内油量/L
1413.873 1456.034 1498.371 1540.870 1583.518 1626.302 1669.209 1712.227 1755.342 1798.543 罐内油量/L
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 油高/cm
1841.816 1885.150 1928.532 1971.949 2015.390 2058.842 2102.294 2145.731 2189.144 2232.518 罐内油量/L
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 油高/cm
2275.842 2319.104 2362.291 2405.390 2448.389 2491.276 2534.037 2576.660 2619.132 2661.439 罐内油量/L 油高/cm
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
2703.569 2745.507 2787.241 2828.756 2870.038 2911.072 2951.845 2992.341 3032.546 3072.442 罐内油量/L
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 油高/cm
3112.015 3151.248 3190.124 3228.626 3266.735 3304.434 3341.704 3378.524 3414.873 3450.731 罐内油量/L 油高/cm
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
3486.075 3520.881 3555.125 3588.779 3621.817 3654.209 3685.923 3716.925 3747.179 3776.643 罐内油量/L
112 113 114 115 116 117 118 119 120 油高/cm 111
3805.272 3833.018 3859.824 3885.622 3910.334 3933.860 3956.056 3976.614 3995.497 4012.707 罐内油量/L
5.2.3 对变位后的模型进行检验
将附表1中油高代入5.1.2中建立的模型中，可以求得倾斜时的总油量，与附表所提供的总油量（即罐内油量初始值与累加进油量之和）进行比较，求得误差，误差在5%以内，总数据见附录2，随机挑取其中几个数据列到下表：
7
表3 第（1）问变位后的数据检验表
油位高度/mm 油总量/L 计算所得油总量/L 误差
750.9 761.55 773.43 785.39 796.04 808.27 820.8 832.8
2362.73 2412.73 2462.73 2512.73 2562.73 2612.73 2662.73 2712.73
2452.25 2497.91 2548.67 2599.57 2644.71 2696.29 2748.85 2798.89
3.79% 3.53% 3.49% 3.46% 3.20% 3.20% 3.23% 3.18%
从上表可以看出实际总油量与计算所得总油量之间的差值及误差。在误差允许的范围内，可以认为该模型是正确合理的。
六 问题（2）模型模型的建立与求解
6.1 模型的建立
6.1.1 实际油罐无变位时的体积
实际油罐是主体为圆柱体，两端为球冠体的立体，对其进行积分时可以分为柱体和球冠体两部分。
对柱体的积分可以代入5.1.1的模型中，只需对a,b进行替换 ：a?b?r?1.5m，
L?8m,所以有：
?h?1500h?15002h?1500V1(h)=18000?[?1?()?arcsin()]（单位：L）
2150015001500对球冠体进行积分时，可以用平行于XoY面（水平面）的切面对被积几何体进行分
割，得到小微元，再对该微元沿Z轴（与出油管平行）积分。
8
图3 球冠截面积计算示意图1
为了更直观地描述球冠，我们将球冠进行补充，将其放在球体中观察，如图3所示。 设油高为h，柱体直径为3m，球心到液面的高度为1.5-h，图中虚线长为1m，由球体的半径计算式为：1.52?(R?1)2?R2，得到R=1.625m；两侧弓形所在圆的半径计算式为：
r2?(1.5?h)2?R2?1.6252=2.640625，所以有：
r?0.390625?h2?3h 整个油罐油面的俯视图如下图所示：
图4 球冠截面积计算示意图2
9
弓形的面积=对应扇形的面积-对应三角形的面积
l弦长lx的计算式为：(x)2?(1.625?1)2?r2?0.390625?h2?3h
2(1.625?1)lx所以有：lx?23h?h2，则三角形的面积为：s1??0.6253h?h2 21.625?12arccos()sr扇形的面积s计算式为：2?，则 ?r2?s?(0.390625?h2?3h)arccos(0.6250.390625?h?3h2)
弓形面积s2=(0.390625?h2?3h)arccos(对球冠中储油量的积分
hh0.6250.390625?h2?3h)-0.6253h?h2
V2(h)??s(h)dh??(0.390625?h2?3h)arccos(000.6250.390625?h?3h2)dh
所以总储油量的积分为V(h)?V1(h)?2V2(h)
?h?1500h?15002h?1500=18?[?1?()?arcsin()]+
2150015001500h2?(0.390625?h2?3h)arccos(00.6250.390625?h?3h2)dh
6.1.2 实际油罐变位后的体积
油罐的变位包括纵向变位和横向变位，要求出变位后储油量与油高之间的函数表达式，可以先考虑纵向变位，看纵向偏转角度?对油高h的影响。纵向倾斜的考虑与第1问中求变位的椭圆柱体的方法一致，求储油量与油高的影响要分段考虑，因为当油很少时，储油量与右边球冠无关，而当油很多时，储油量的增加不再影响左边球冠的积分，所以积分时要按h分成三段进行考虑，分别为0?h?6tan?，6tan??h?3?6tan?，3?6tan??h?3。
第1段：0?h?6tan?时
对柱体的积分：纵向倾斜的考虑与第1问中求变位的椭圆柱体的方法一致 此时
?(h?2tan(?)?tan(?)x)?1.5(h?2tan(?)?tan(?)x)?1.52S(h)?[?1?()21.51.5 (h?2tan(?)?tan(?)x)?1.5?arcsin()]*1.5*1.51.510
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