==
=，
已知S△OMN=
，化简可得
，
．
设P（xP，yP），则
又已知kAP=kOM，所以要证kBP=kON， 只要证明
，
而，
所以可得BP∥ON．
（M，N在y轴同侧同理可得）．
解法二：设直线AP的方程为y=kOM（x+2），代入x2+2y2=4， 得
，它的两个根为﹣2和xP， ，
可得，
从而，
所以只需证，即，
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），若直线MN的斜率不存在，易得从而可得
，
若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m， 代入
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
则，
，△=8（4k2+2﹣m2）＞0，
，
化得m4﹣（4k2+2）m2+（2k2+1）2=0，得m2=2k2+1，
．
故BP∥ON．
20．如图，已知曲线C1：y=
（x＞0）及曲线C2：y=
（x＞0），C1上的点P1的横坐标
为a1（0＜a1＜）．从C1上的点Pn（n∈N+）作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再从点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn+1．点Pn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
{an}
（Ⅰ）试求an+1与an之间的关系，并证明：a2n﹣1＜（Ⅱ）若a1=，求证：|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜
．
；
【考点】等比关系的确定；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）由已知，Pn
，从而有
，由Qn在y=
上，代入可得
，由a1＞0，及，知an＞0，下证：
解法一：由=
，可得an+1
与异号，即可证明．
解法二：由，可得=， =，可
得
，利用等比数列的通项公式可得an，进而证明．
（Ⅱ）由a2n+1=
==
，可得a2n+1﹣a2n﹣1=
﹣a2n﹣1=
，由
，可得a2n+1＞a2n﹣1，可得
＞a2n﹣1＞a2n﹣3＞…＞a1．可知an≥a1，因此|an+2﹣an+1|=
=
= ，利用递推关系及其等比数列的前n项和公式即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，Pn
，从而有，
因为Qn在y=
上，所以有=，
解得，…
由a1＞0，及下证：
，知an＞0，
解法一：因为=
，所以an+1
＜0，
＞0，
与异号，
注意到即
＜0，知
…
解法二：由，可得=， =，
所以有，即是以为公比的等比数列；
设，则
解得，…
从而有
由可得，
所以，．
所以．…
（Ⅱ）证明：因为a2n+1=
==，
所以a2n+1﹣a2n﹣1=因为所以有
﹣a2n﹣1=
，所以a2n+1＞a2n﹣1，
，
＞a2n﹣1＞a2n﹣3＞…＞a1．
从而可知an≥a1 …
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