2020中考数学压轴题汇编 二次函数专题(含答案)

2020中考数学 九年级 压轴题汇编 二次函数专题

（含答案）

1. 如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.

(1)求抛物线L的解析式；

(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；

(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

第1题图

解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝3， 把B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3， 得9a＋3b＋3＝0，

又∵抛物线的对称轴为x＝1，

?9a＋3b＋3＝0∴联立?b，

?－2a＝1

??a＝－1解得?，

??b＝2

∴抛物线L的解析式是y＝－x2＋2x＋3； 设所求抛物线L的解析式为y＝m(x－1)2＋n，

???4m＋n＝0?m＝－1把B(3，0)，C(0，3)分别代入得?，解得?，

???m＋n＝3?n＝4∴抛物线L的解析式是y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3. (2)由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)， 如解图①，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E、F， 则△BEF∽△BCO， EFBF

∴OC＝BO， ∴EF＝2，

∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4；

第1题解图①

(3)能．

设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别是点M，N，

第1题解图②

∴∠NPM＝∠QPB＝90°，即∠NPQ＝∠MPB， 又∵PB＝PQ且∠PMB＝∠PNQ＝90°， ∴△PMB≌△PNQ(AAS)， ∴PM＝PN.

①当点P在x轴上方时，－x2＋2x＋3＝x＋3， 即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1， ∴P1(0，3)，P2(1，4)；

②当点P在x轴下方，直线l右侧时，－(－x2＋2x＋3)＝x＋3， 3±33

即x－3x－6＝0，解得x＝2，

2

分别代入y＝－x2＋2x＋3得

3－339－333＋339＋33P3(2，－2)，P4(2，－2)，

当点P在x轴下方，直线l左侧时，－(－x2＋2x＋3)＝－3－x， 解得x1＝0(舍去)，x2＝1(舍去)，

3－339－33

综上所述，满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(2，－2)，

3＋339＋33P4(，－)．

22

3

2. 如图，直线y＝－3x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠

ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．

第2题图

(1)求A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

3

解：(1)∵直线y＝－3x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点， ∴B(3，0)，C(0，3)， ∴OB＝3，OC＝3， ∴tan∠BCO＝

3

＝3， 3

∴∠BCO＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO＝30°，

AO3AO3

∴tan30°＝CO＝3，即＝3，解得AO＝1，

3∴A(－1，0)；

(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点， 3

?a＝－??3?a－b＋3＝0

∴?，解得?，

23??9a＋3b＋3＝0?b＝?3323

∴抛物线解析式为y＝－3x2＋3x＋3； (3)∵MD∥y轴，MH⊥BC， ∴∠MDH＝∠BCO＝60°， 则∠DMH＝30°，

13

∴DH＝2DM，MH＝2DM，

3＋313

∴△DMH的周长＝DM＋DH＋MH＝DM＋2DM＋2DM＝2DM， ∴当DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点M是直线BC上方抛物线上的一点， 323

∴可设M(t，－3t2＋3t＋3)，