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2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试13函数模型及其应用人教B版

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考点测试13 函数模型及其应用

高考概览

高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题,分值5分,中等难度 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上

考纲研读

升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用

一、基础小题

1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )

答案 B

解析 蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短,根据实际意义选B. 2.在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表:

x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是( ) A.y=2x C.y=2x-2 答案 D

解析 根据x=0.5,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.

3.国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例

B.y=x-1 D.y=log2x

2

为(p+0.25)%,则该公司的年收入是( )

A.560万元 C.350万元 答案 D

解析 设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a=

280×2

=320.故选D.

2-0.25

4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的数量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p(t)=p02-

B.420万元 D.320万元

t30

,其中p0为t=0时的污染物数量.又

测得当t∈[0,30]时,污染物数量的变化率是-10ln 2,则p(60)=( )

A.150毫克/升 C.150ln 2毫克/升 答案 C

1

p0-p02

解析 因为当t∈[0,30]时,污染物数量的变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=,

30-0所以p0=600ln 2,因为p(t)=p02-,所以p(60)=600ln 2×2=150ln 2(毫克/升).

30

5.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况,小车P从点A出发的运动轨迹如图所示.设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ=∠AOP,练车时间为t,则函数θ=f(t)的图象大致为( )

B.300毫克/升 D.300ln 2毫克/升

t-2

答案 D

解析 根据小车P从点A出发的运动轨迹可得,视角θ=∠AOP的值先是匀速增大,然

后又减小,接着基本保持不变,然后又减小,最后又快速增大,故选D.

6.f(x)=x,g(x)=2,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )

A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) 答案 B

解析 画出三个函数的图象,如下图所示,当x∈(4,+∞)时,指数函数的图象位于二次函数的图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).

B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x)

2

x

7.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+

3x(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4x+2

万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为( )

A.30.5万元 C.32.5万元 答案 B

解析 由题意,得甲产品的生产成本为(30y+4)万元,销售单价为×50%,故年销售收入为z=?

30y+4

B.31.5万元 D.33.5万元

y×150%+

xy?30y+4×150%+x×50%?y=45y+6+1x.所以年利润W=z-(30y?y2?y?

x45xx+4)-x=15y+2-=17+-(万元).所以当广告费为1万元时,即x=1,该企业甲产

2x+22

品的年利润为17+

451

-=31.5(万元).故选B. 1+22

8.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,表格是某公司前5天监测到的数据:

第x天 被感染的计算机数量y/台 1 12 2 24 3 49 4 95 5 190

则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( ) A.y=12x C.y=6·2 答案 C

解析 由表格可知,每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍,故增长速度符合指数型函数,故选C.

9.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )

1A.y=x

4

B.y=lg x+1 D.y=x

xB.y=6x-6x+12 D.y=12log2x+12

2

?3?xC.y=??

?2?

答案 B

解析 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;1

②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足①,但当x>20时,y>5,不满

4

?3?x?3?4

足要求;对于y=??,易知满足①,因为??>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=x,

?2??2?

易知满足①,但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lg x+1,易知满足①,当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②,再证明lg x+1≤x·25%,即4lg x+4-x≤0,设F(x)=4lg x+4-x,则F′(x)=

4

-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,F(x)max=F(10)=4lg 10xln 10

+4-10=-2<0,满足③,故选B.

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是B1C的中点,动点M在其表面上运动,且与平面A1DC1的距离保持不变,运行轨迹为S,M从P点出发,绕其轨迹运行一周的过程中,运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f(x),则此函数图象大致是( )

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