考点测试13 函数模型及其应用
高考概览
高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上
考纲研读
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用
一、基础小题
1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )
答案 B
解析 蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B. 2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x C．y＝2x－2 答案 D
解析 根据x＝0.5，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.
3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例
B．y＝x－1 D．y＝log2x
2
为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 C．350万元 答案 D
解析 设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝
280×2
＝320.故选D.
2－0.25
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－
B．420万元 D．320万元
t30
，其中p0为t＝0时的污染物数量．又
测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 C．150ln 2毫克/升 答案 C
1
p0－p02
解析 因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，
30－0所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2＝150ln 2(毫克/升)．
30
5．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为( )
B．300毫克/升 D．300ln 2毫克/升
t－2
答案 D
解析 根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然
后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D.
6．f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) 答案 B
解析 画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
B．g(x)>f(x)>h(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
2
x
7．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋
3x(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4x＋2
万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )
A．30.5万元 C．32.5万元 答案 B
解析 由题意，得甲产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为×50%，故年销售收入为z＝?
30y＋4
B．31.5万元 D．33.5万元
y×150%＋
xy?30y＋4×150%＋x×50%?y＝45y＋6＋1x.所以年利润W＝z－(30y?y2?y?
x45xx＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)．所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产
2x＋22
品的年利润为17＋
451
－＝31.5(万元)．故选B. 1＋22
8．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
第x天 被感染的计算机数量y/台 1 12 2 24 3 49 4 95 5 190
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( ) A．y＝12x C．y＝6·2 答案 C
解析 由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，故选C.
9．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是( )
1A．y＝x
4
B．y＝lg x＋1 D．y＝x
xB．y＝6x－6x＋12 D．y＝12log2x＋12
2
?3?xC．y＝??
?2?
答案 B
解析 由题意知，x∈[10,1000]，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；1
②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y＝x，易知满足①，但当x>20时，y>5，不满
4
?3?x?3?4
足要求；对于y＝??，易知满足①，因为??>5，故当x>4时，不满足要求；对于y＝x，
?2??2?
易知满足①，但当x>25时，y>5，不满足要求；对于y＝lg x＋1，易知满足①，当x∈[10,1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lg x＋1≤x·25%，即4lg x＋4－x≤0，设F(x)＝4lg x＋4－x，则F′(x)＝
4
－1<0，x∈[10,1000]，所以F(x)为减函数，F(x)max＝F(10)＝4lg 10xln 10
＋4－10＝－2<0，满足③，故选B.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动点M在其表面上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与l＝MA1＋MC1＋MD之间满足函数关系l＝f(x)，则此函数图象大致是( )
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