获得投资收益的范围是[10,100](单位:万元).现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加且资金不超过5万元,同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型f(x)制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励函数模型应满足的条件;
(2)现有两个奖励函数模型:(ⅰ)y=是否符合公司要求.
解 (1)设奖励函数模型为f(x), 则该函数模型满足的条件是: ①当x∈[10,100]时,f(x)是增函数; ②当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立; ③当x∈[10,100]时,f(x)≤恒成立.
5(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y=
1
x+1, 20
1
x+1;(ⅱ)y=log2x-2.试分析这两个函数模型20
x它在[10,100]上是增函数,满足条件①;
但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件②;故该函数模型不符合公司要求.
(b)对于函数模型(ⅱ)y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件①,x=100时,
ymax=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立.满足条件②,
1
设h(x)=log2x-2-x,
5log2e1
则h′(x)=-,
x5
111
又因为x∈[10,100],所以≤≤,
100x10log2e121
所以h′(x)≤-<-=0,
105105
所以h(x)在[10,100]上是递减的,因此h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤恒成立,
5满足条件③,
故该函数模型符合公司要求.
综上所述,函数模型(ⅱ)y=log2x-2符合公司要求.
x
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