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2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试13函数模型及其应用人教B版

来源:用户分享 时间:2025/7/11 7:43:51 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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获得投资收益的范围是[10,100](单位:万元).现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加且资金不超过5万元,同时资金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数模型f(x)制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励函数模型应满足的条件;

(2)现有两个奖励函数模型:(ⅰ)y=是否符合公司要求.

解 (1)设奖励函数模型为f(x), 则该函数模型满足的条件是: ①当x∈[10,100]时,f(x)是增函数; ②当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立; ③当x∈[10,100]时,f(x)≤恒成立.

5(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y=

1

x+1, 20

1

x+1;(ⅱ)y=log2x-2.试分析这两个函数模型20

x它在[10,100]上是增函数,满足条件①;

但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件②;故该函数模型不符合公司要求.

(b)对于函数模型(ⅱ)y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件①,x=100时,

ymax=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立.满足条件②,

1

设h(x)=log2x-2-x,

5log2e1

则h′(x)=-,

x5

111

又因为x∈[10,100],所以≤≤,

100x10log2e121

所以h′(x)≤-<-=0,

105105

所以h(x)在[10,100]上是递减的,因此h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤恒成立,

5满足条件③,

故该函数模型符合公司要求.

综上所述,函数模型(ⅱ)y=log2x-2符合公司要求.

x

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