§3.2 空间向量的应用
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
一、基础过关
1． 已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝______；
y＝__________________________________________________________________.
2． 设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝_____.
?1?则m＝________.
3． 已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，，2?，
?2?
4． 从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为___． 5． 若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线l与
平面α的位置关系为________．
6． 已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，
且a⊥b，则x＋y的值是______．
7． 若a＝(1，－1,1)，b＝(2，－1，－3)，则与a，b都垂直的单位向量为
________________________________________________________________________． 二、能力提升 8．
在正方体ABCD——A1B1C1D1中，以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E、F分别为
BB1和A1D1的中点，则平面AEF的一个法向量是______________________．
9． 已知直线l的方向向量u＝(2，－1,3)，且l经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y＝______，z＝________________________________________________________________.
→
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量． 11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，
(1)试求平面α的一个法向量；
(2)若M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z的关系式． 12．
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2AC＝AB，∠BAC＝90°，D是CC1的中点，试求平面
AB1D的一个法向量．
三、探究与拓展 13．
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC—A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱
AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长；
→→
(2)求BA1与CB1夹角的余弦值；
→
(3)求证：BN是平面C1MN的一个法向量．
答案
1．6 7．?
15
2．4 3．－8 4．(18,17，－17) 5．l⊥α 6．1或－3 2
542??2542??2
42，42，?或?－42，－42，－?
4242??214242??21
33
8．(4，－1,2)(不唯一) 9．
2210．证明
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，
1??E?1，1，?， 2??
??1?→?1→??AE＝?0，1，?，D1F＝?0，，－1?， 2???2?
A1D1＝(－1,0,0)．
→→
∵AE·D1F
1??1??＝?0，1，?·?0，，－1? 2??2??
11
＝－＝0， 22→→→→→→AE·A1D1＝0，∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1. 又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F， →
∴AE是平面A1D1F的法向量． →
??D1(0,0,1)，F?0，，0?，A1(1,0,1)，
1
2
→
11．解 (1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB＝(1，－2，－4)，
→
AC＝(2，－4，－3)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．
→→
依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0. ???x－2y－4z＝0?x＝2y即?，解得?. ???2x－4y－3z＝0?z＝0
令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)． →
(2)∵AM＝(x－1，y－2，z－3)，
→
∴n·AM＝0.
∴2(x－1)＋(y－2)＝0，即2x＋y－4＝0.
12．
解 方法一 不妨设AC＝1，以A点为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz. 则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B1(0,2,2)． →→
则AD＝(1,0,1)，AB1＝(0,2,2)．
→??n·AD＝0
设n＝(x，y，z)是平面AB1D的法向量，则?
→??n·AB1＝0
?x＋z＝0?
∴???2y＋2z＝0
，
，得?
?x＝－z???y＝－z
.
令z＝1，得平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，－1,1)．
→→
方法二 由AD＝(1,0,1)，可设平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，y,1)．由n·AB1＝0，得2y＋2＝0，∴y＝－1.
∴平面ABD的一个法向量为(－1，－1，1)． 13．(1)解 如图所示，
以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C—xyz. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， →
∴|BN|＝
－
2
＋－
2
＋－
2
＝3，
∴线段BN的长为3.
(2)解 依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， →→
∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)， →→→→
∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA1|＝6，|CB1|＝5，
→→
∴cos〈BA1，CB1〉
→→BA1·CB130＝＝.
→→10|BA1||CB1|(3)证明 依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，N(1,0,1)．
?11?∴M?，，2?， ?22?
→?11?→
C1M＝?，，0?，C1N＝(1,0，－1)，
?22?
1→→→1
BN＝(1，－1,1)，∴C1M·BN＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
22
→→
C1N·BN＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. →→→→∴C1M⊥BN，C1N⊥BN，
→
又C1M∩C1N＝C1，∴BN⊥平面C1MN.
→
∴BN是平面C1MN的一个法向量．
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