则原方程为：t2+2t=3 解得：t=1 或者 t=-3 当t=1时，x2+3x-1=1 解得：x??3?17?3?17 或x? 22当t=-3时，x2+3x-1=-3 解得：x=-1或x=-2 ∴方程的解为：x??3?17?3?17 或x? 或x=-1或x=-2 22（2）解：根据杨辉三角形的特点得出： an=n-1
bn?cn?(n?1)(n?2) 2(n?2)(n?3)
2∴4（bn-an）?cn+1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n2-5n+4）（n2-5n+6）+1 =（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1=（n2-5n+5）2 【点睛】
本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
6．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣
+t2＝
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）（+
），令+
＝t，
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣（+
）
）×（+
）﹣（1﹣﹣
）×
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）【解析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【分析】
（1）仿照材料内容，令+
＝t代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+
原式＝（1﹣t）（t+
＝t，则： ）﹣（1﹣t﹣
）t＝t+﹣t2﹣
﹣t+t2+
＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
7．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千
克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12， 整理得：x2﹣65x﹣750=0， （x﹣75）（x+10）=0， 解得：x1=75，x2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用
8．已知关于x的一元二次方程x??2k?1?x?k?3?0有两个实数根．
22?1?求k的取值范围；
?2?设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12?x22?23，求k的值．
【答案】（1）k?【解析】 【分析】
13；（2）k??2． 4?1?根据方程有实数根得出?[??2k?1?]2?4?1?k2?3??8k?5?0，解之可得．
???2?利用根与系数的关系可用k表示出x1?x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方
程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：?1?关于x的一元二次方程x??2k?1?x?k?3?0有两个实数根，
2222??0，即[??2k?1?]?4?1??k?3???4k?13?0，
解得k?13． 4?2?由根与系数的关系可得x1?x2?2k?1，x1x2?k2?3，
2?x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2?(2k?1)2?2k2?3?2k2?4k?7，
??
2x12?x2?23，
?2k2?4k?7?23，解得k?4，或k??2，
k?13， 4?k?4舍去， ?k??2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0,a，b，c为常数)根的判别式.当?0，方程有两个不相等的实数根；当?0，方程有两个相等的实数根；当?0，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
9．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2?且AB：AC=1：2
?3?1x?3?0的两个根，点C在x轴负半轴上，
?
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解x2?解得x1=3，x2=1。
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=3。∴A（1，0），B（0，3）。∴AB=2。 又∵AB：AC=1：2，∴AC=4。∴C（﹣3，0）。； （2）由题意得：CM=t，CB=23．
①当点M在CB边上时，S=23﹣t（0≤t＜3）； ②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣3（t＞3）。 （3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，【解析】
试题分析：（1）通过解一元二次方程x2??3?1x?3?0得（x﹣3）（x﹣1）=0，
?23）。 3?3?1x?3?0，求得方程的两个根，从而
?
得到A、B两点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标。
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式。
（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标：
10．如图，在?ABC中，?ACB?90?，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段
AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.
（1）若?A?28?，求?ACD的度数； （2）设BC?a，AC?b；
①线段AD的长度是方程x2?2ax?b2?0的一个根吗？说明理由. ②若线段AD?EC，求
a的值. ba3?. b4【答案】（1）?ACD＝31?；（2）①是；②【解析】 【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】
（1）在?ABC中，?ACB?90?. ∴?B?90???A
?90??28? ?62?，
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