2020届高考数学一轮复习 第三篇第4节 三角函数的图象与性质训练 理 新人教版

其中是真命题的序号是 .(将你认为是真命题的序号都填上) 解析:对于函数f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,

由于f(-)=-2,f()=0,所以f(-)≠f(),

故f(x)的图象不关于直线x=对称,故排除①.

在区间[-,]上,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin 2x,2x∈[-,]单调递增,故②正确.

函数f()=,f()=0,所以f()≠f(),故函数f(x)的最小正周期不是π,故③错误.

当cos x≥0时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin xcos x+sin 2x=2sin 2x,故它的最大值为2,最小值为-2;

当cos x<0时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=-2sin xcos x+sin 2x=0, 综合可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故④正确. 答案:②④

13.(2017·丰台区二模)已知函数f(x)=sin xsin(-x)+(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间. 解:(1)因为f(x)=sin xsin(-x)+

cosx

2

cosx.

2

=sin 2x+×

=sin(2x+)+,

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(x)=sin(2x+)+,

所以令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以可得f(x)的单调递增区间为[kπ-14.(2017·北京卷)已知函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求证:当x∈[-,]时,f(x)≥-.

,kπ+],k∈Z.

cos(2x-)-2sin xcos x.

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(1)解:f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x

=sin 2x+cos 2x

=sin(2x+),

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)证明:因为-≤x≤,

所以-≤2x+≤,

所以sin(2x+)≥sin(-)=-, 所以当x∈[-,]时,f(x)≥-.

15.(2017·河东区二模)已知函数f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+). (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

(2)讨论函数f(x)在区间[-,]上的单调性并求出值域.

解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)

=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)

=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2

x=cos 2x+

sin 2x-cos 2x=sin(2x-).

所以f(x)的最小正周期T==π.

由2x-=kπ+ (k∈Z),得x=+ (k∈Z).

所以函数图象的对称轴方程为x=+ (k∈Z).

(2)令-≤2x-≤,则-≤x≤. 令≤2x-≤π,则≤x≤π.

因为-≤x≤,

所以f(x)=sin(2x-)在区间[-,]上单调递增,在区间[,]上单调 递减.

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当x=时,f(x)取最大值1.

因为f(-)=-

所以x=-时,f(x)min=-.

所以值域为[-,1].

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