强化训练 椭圆、双曲线、抛物线综合
x2y2
1.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物
ab线y＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 2128C.－＝1 34答案 D
解析 由题意知点(2，3)在渐近线y＝x上， 所以＝2
x2y2
B.－＝1 2821D.－＝1 43
x2y2
x2y2x2y2
baba3， 2
又因为抛物线的准线为x＝－7， 所以c＝7， 故a＋b＝7， 所以a＝2，b＝3. 故双曲线的方程为－＝1.
43
2
2
x2y2
x2y22
2.(2019·兰州模拟)已知双曲线2－＝1(a>0)的一个焦点与抛物线y＝8x的焦点重合，则
a3
该双曲线的渐近线是( ) 1
A.y＝±x
2C.y＝±
3x 3
B.y＝±3x D.y＝±
3x 2
答案 B
解析 由题意，抛物线的焦点为(2,0)， 所以双曲线中c＝2，所以a＝1， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x.
3.已知椭圆C：＋＝1，则下列双曲线的离心率与C的离心率互为倒数的是( )
34
x2y2
A.－＝1 48C.－y＝1 4答案 D
x2y2x2
B.－＝1 44D.－＝1 412
x2y2x2
2
y2
1
解析 因为椭圆＋＝1的离心率为，
342所以双曲线的离心率为2， A选项中双曲线的离心率为3； B选项中双曲线的离心率为2； C选项中双曲线的离心率为
5
； 2
x2y2
D选项中双曲线的离心率为2.
x2y222
4.双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，以F为圆心，a＋b为半径的圆与双曲
ab线C的两条渐近线分别交于A，B两点(异于原点O)，若四边形OAFB为菱形，则双曲线C的离心率等于( ) 23
A.2B.C.3D.2
3答案 D
解析 ∵c＝a＋b，∴圆F过原点O， 依题意知△OFB是正三角形， ∴∠BOF＝60°，∴＝3， ∴e＝1＋??＝2.
a2
2
ba?b?2??
5.(2020·郑州质检)双曲线C1：－＝1与抛物线C2：y＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，
22若|AB|＝22，则p等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B
解析 设A在x轴上方，
x2y2
2
??由题意知点A坐标为?－，2?， ?2?
代入双曲线C1：－＝1， 22
px2y2
得
?－p?2?2???
2
－1＝1，∴p＝4.
6.设P为椭圆C：＋＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|
73＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为( ) A.(x－2)＋y＝28 B.(x＋2)＋y＝7 C.(x＋2)＋y＝28 D.(x－2)＋y＝7 答案 C
解析 由题易知a＝7，c＝2，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝27，|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝27，
∴点Q的轨迹是以F1(－2,0)为圆心，27为半径的圆. 故圆的方程为(x＋2)＋y＝28.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
7.设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线
ab左支的一个交点为P，若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为( ) A.2
B.
－3＋62
43＋62
7
C.3 答案 D
D.
解析 如图所示，设OF1的中点为N，
圆N与PF2的切点为M， 圆N的半径为r，
则|F1N|＝|ON|＝|MN|＝r， |OF2|＝c＝2r，
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