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（4）?5与?6是两条直线l1与l2被第三条直线l3所截构成的同旁内角。 例4如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小
C M A P F H D N E G B
答案：50°
解析：因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP，所以∠AMF=∠MNP，所以EF∥GH，所以∠MPN=∠CME，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°
例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM
答案：57.5°
解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB
1∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=21∠ACM=2×115°=57.5°，所以∠PCM=57.5°
例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小
答案：102°
解析：因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°
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例7如图，已知：∠BAP与∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F
解析：因为∠BAP与∠APD 互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F
例8 如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明
答案：∠HOP=∠AGF－∠HPO
解析：过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB∥MN，所以∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO
例9 如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°
A B A B E F C D C D E
分析：因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。 解：过点E作EF∥AB，则
∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB∥CD（已知） EF∥AB（作图）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°
∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF
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∴∠B＋∠BED＋∠D=360°
例10. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。
解：∵AE∥BD（已知）
∴∠BAE=∠DBA（两直线平行， 内错角相等） ∵∠BAE=40°（已知）
∴∠ABD=40°（等量代换）
∵∠CBD=∠ABC＋∠ABD（已知） ∴∠ABC=∠CBD－∠ABD（等式性质） ∵∠ABD=40°（已知） ∴∠ABC=75°－40°=35°
例11 如图，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。
分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时欲证BC为∠DBE的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠C=∠6 ，∠4=∠5，由AD为∠FDB的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证AE∥CF，且AD∥BC了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明AE∥CF，利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件，不难推证AD∥BC。
证明：∵∠1＋∠2=180°（已知） ∠2＋∠7=180°（补角定义） ∴∠1=∠7（同角的补角相等）
∴AE∥CF （同位角相等，两直线平行）
∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证） ∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠6=∠C， ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等） 又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等） ∴∠3=∠6（等量代换） 又AD为∠BDF的平分线 ∴∠5=∠6
∴∠3=∠4（等量代换） ∴BC为∠DBE的平分线
例12 如图，DE，BE 分别为∠BDC， ∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2 （1）说明：AB∥CD （2）说明：∠DEB=90° 分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证∠CDB与∠ABD互补比
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较困难，而∠1＋∠2=∠DEB，若以E为顶点，DE为一边，在∠DEB内部作∠DEF=∠2，再由DE，EB分别为∠CDB， ∠DBA的平分线，就不难证明AB∥CD了，（2）由（1）证得AB∥CD后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠DEB=90°
证明：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2 ∵DE为∠BDC的平分线（已知） ∴∠2=∠EDC（角平分线定义） ∴∠FED=∠EDC（等量代换）
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行） ∵∠DEB=∠1＋∠2（已知） ∵∠FEB=∠1（等量代换），∠EBA=∠EBF=∠1（角平分线定义） ∴∠FEB=∠EBA（等量代换）
∴FE∥BA（内错角相等，两直线平行） 又EF∥DC
∴BA∥DC（平行的传递性） （2）∵AB∥DC（已证）
∴∠BDC＋∠DBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）
11又∠1=2∠DBA，∠2=2∠BDC（角平分线定义）
∴∠1＋∠2=90° 又∠1＋∠2=∠DEB ∴∠DEB=90°
中考真题精讲
1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC． 理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（ 已知 ） ∴∠ADC=∠EGC=90°，（ 垂直的定义 ）， ∴AD∥EG，（ 同位角相等，两直线平行 ） ∴∠1=∠2，（ 两直线平行，内错角相等 ） ∠E =∠3，（ 两直线平行，同位角相等 ） 又∵∠E=∠1（已知），∴ ∠2 = ∠3 （ 等量代换 ） ∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
考点：平 行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线． 专题：推 理填空题．
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分析：先 利用同位角相等，两直线平行求出AD∥EG，再利用平行线的性质求出∠1=∠2，
∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明． 解答：解 ：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义） ∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行） ∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等） ∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等） 又∵∠E=∠1（已知） ∴∠2=∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）． 点评：本 题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角
是正确答题的关键．
2．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？
考点：平 行线的判定与性质；垂线． 专题：探 究型． 分析：由 ∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等
量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB． 解答：解 ：CD⊥AB；理由如下：
∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，∠2=∠DCB， 又∵∠2=∠3， ∴∠3=∠DCB， 故CD∥FH， ∵FH⊥AB ∴CD⊥AB． 点评：本 题是考查平行线的判定和性质的基础题，比较容易，稍作转化即可．
3．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．
考点：平 行线的判定与性质． 专题：证 明题．
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