2-4 正态分布
[综合训练·能力提升]
一、选择题（每小题5分，共30分）
（x－1）
1．若f(x)＝e－(x∈R)，则下列判断正确的是
22π
1
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，也无最小值
解析 f(x)是μ＝1，σ＝1的正态分布密度函数，所以在x＝1时取得最大值，无最小值．
答案 B
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝
A．0.447 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析 因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，所以正态曲线关于直线x＝0对称． 又P(ξ>2)＝0.023，所以P(ξ<－2)＝0.023. 所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 答案 C
3设X～N(μ1，σ1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
2
2
22
2
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≤P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2) P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)， 1 而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错． 答案 C 4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝ A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 解析 由X～N(2，σ)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16. 答案 A 5．若随机变量X的密度函数为f(x)＝ ·e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内 22π1 2 2 x2 取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为 A．p1>p2 B．p1 解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2. 答案 C 6．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的 A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α?(μ－3σ，μ＋3σ) C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α?(μ－2σ，μ＋2σ) 解析 由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ 答案 B 二、填空题（每小题5分，共15分） 7．某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X∈R)服从正态分布N(100，10)，已知 2 2 P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 解析 由题意知P(X>110)＝分以上的人数为0.2×50＝10. 答案 10 8．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，400)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________． 解析 μ＝10 000，σ＝400，P(9 200 2 2 1－2P（90≤X≤100） ＝0.2，所以该班学生数学成绩在110 2 2×400)＝0.954 4. 答案 0.954 4 ?1?9．设X～N?0，?，则P(－1 1 解析 由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ 2答案 0.954 4 三、解答题（本大题共3小题，共35分） 10．（10分）某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，10)，如果规定低于60分为不及各，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90分内的学生占多少？ 解析 (1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70，10)，则μ＝70，σ＝10.在60～180分之间的学生的比例为P(70－10 2－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%. 1 (2)成绩在80～90分内的学生的比例为[P(70－2×10 21 10 2 答案 (1)15.87% (2)13.59% 11．（12分）如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差． ， 2π 111 所以μ＝20，＝，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝ 2πσ2π2πe （x－20）2 － 4 2 2 解析 从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为 1 ，x∈(－∞，＋∞)． 2 2 总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ＝(2)＝2. 答案 20 2 12．（13分）已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ)，且 ??P（μ－2σ 2 (1)若μ＝4，σ＝1，求P(5 3
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