2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第四章 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 (含解析)

§4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．简谐运动的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

x 0－φ ω0 π－φ2 ωπ 2π－φ ωπ 3π－φ2 ω3π 22π－φ ω2π 振幅 A 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ)

0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．

概念

方法微思考

1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ φ

提示 向左平移个单位长度．

ω

2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？ kππφ

提示 对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，

ω2ωωkπφ?对称中心是点??ω－ω，0?(k∈Z)．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

πππ

x－?的图象可由y＝sin?x＋?的图象向右平移个单位长度得到．( √ ) (1)y＝sin??4??4?2

(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可以得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．

( × )

(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离T

为.( √ ) 2

1

(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析

21

式为y＝sin x.( × )

2题组二 教材改编

π

2x－?的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向________平移2．为了得到函数y＝2sin?3??________个单位长度．(答案不唯一) π

答案 右 6

1π?

3．函数y＝2sin??2x－3?的振幅、频率和初相分别为__________________． 1π答案 2，，－ 4π3

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

π3π?

答案 y＝10sin??8x＋4?＋20，x∈[6,14]

解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 1

所以A＝×(30－10)＝10，

21

b＝×(30＋10)＝20， 2

又12×2π

ω＝14－6， 所以ω＝π

8

. 又π3π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝4， 所以y＝10sin?π3π?8x＋4??＋20，x∈[6,14]． 题组三 易错自纠

5．要得到函数y＝sin??4x＋π

3??的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( ) A．向左平移π

12个单位长度

B．向右平移π

12个单位长度

C．向左平移π

3个单位长度

D．向右平移π

3个单位长度

答案 A

解析 ∵y＝sin??4x＋π3??＝sin??4??x＋π

12????

， ∴要得到y＝sin??4x＋π3??的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移π

12个单位长度．6．(多选)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移π

6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则( A．g(x)在??0，π2??上的最小值为－32 B．g(x)在??0，π

2??上的最小值为－1 C．g(x)在??0，π2??上的最大值为32 D．g(x)在??0，π

2??上的最大值为1 答案 AD

解析 将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移π

6个单位长度后得到函数g(x)＝sin??2x＋π3??， ∵x∈??0，π

2??， ∴ππ4π3≤2x＋3≤3

， )