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2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1
（B）（1，2）
（C）（–1，+∞）
（D）（1，+∞）
（2）已知复数z=2+i，则z?z? （A）3
（B）5 （C）3
（D）5
（3）下列函数中，在区间（0，+?）上单调递增的是 （A）y?x2
1（B）y=2?x
（C）
y?log1x
2（D）y?
1 x
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）1 （C）3
（B）2 （D）4
x2（5）已知双曲线2?y2?1（a>0）的离心率是5，则a=
a（A）6
（B）4
（C）2 （D）
1 2（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
m2–m1?5E1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，2E2
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
10.1
（A）10
（B）10.1 （C）lg10.1
（D）10?10.1
（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，
?APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ （C）2β+2cosβ
（B）4β+4sinβ （D）2β+2sinβ
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a?b，则m=__________．
?x?2,?y满足?y??1, 则y?x的最小值为__________， （10）若x，最大值为__________．
?4x?3y?1?0,?2
（11）设抛物线y=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相
切的圆的方程为__________．
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图
所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（13）已知l，m是平面?外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥?；③l⊥?．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=3，b–c?2，cosB=?（Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值．
（16）（本小题13分）
设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
（17）（本小题12分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方B两种移动支付方式的使用情况，式之一．为了解某校学生上个月A，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 仅使用A 仅使用B 27人 24人 不大于2 000元 大于2 000元 3人 1人 1． 2（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
（19）（本小题14分）
x2y2已知椭圆C:2?2?1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l:y?kx?t(t??1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP 与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
（20）（本小题14分）
已知函数f(x)?13x?x2?x． 4（Ⅰ）求曲线y?f(x)的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当x?[?2,4]时，求证：x?6?f(x)?x；
x)|?f(x)(?xa)?|(a)?（Ⅲ）设F(当M（a）最小时，求a的值．
R，记F(x)在区间[?2,4]上的最大值为M（a），
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