高数下册总复习知识点归纳(1)

第八、九章 向量代数与空间解析几何总结

定义 向量 模 向量代数 定义与运算的几何表达 uuur有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) rrrax?prjxa,ay?prjya,az?prjza a?ax2?ay2?az2 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 aa?0，则ea? aea?(ax,ay,az)ax?ay?az222 方向余弦 设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ayaacos??rx，cos??r，cos??rz aaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 a?b?axbx?ayby?azbz 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 c?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行 ia?b?axbxjaybykaz bza?b?a?b?0 a//b?a?b?0 两向量夹角余弦cos??a?b?axbx?ayby?azbz?0 a//b?cos??axayaz?? bxbybz2222交角余弦 a?b abaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bzprjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz22222 向量a在非零向量b上的投影 投影 a?b prjba?acos(ab)?b? 平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点法式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 x?x0y?y0z?z0?? mnpx?x1三点式 y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 参数式 x2?x1x3?x1截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1?? A2B2C2ABC?? mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0?? x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} 线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin?? ?x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?切“线”方程：切向量 x?x0y?y0z?z0?? ??(t0)??(t0)??(t0)空(??t??) 间曲线： ?T?(??(t0),??(t0),??(t0)) 法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 切“线”方程：?y??(x)切向量 ??T?(1,??(x),??(x)) ?z??(x)x?x0y?y0z?z0 ????1?(x0)?(x0)法平“面”方程： (x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 法向量 切平“面”方程： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)F(x,y,z)?0 空间曲面 ?：rn?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))rn?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1) ?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程： fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0 z?f(x,y) 或 rn?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1

第十章 总结

重积分 计算方法 （1） 利用直角坐标系 X—型 Y—型 积分类型 二重积分 典型例题 ??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy P141—例1、例3 ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx I???f?x,y?d?D（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； 22?(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x?y), ?为实数 ) 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 P147—例5 ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?) f(?cos?,?sin?)?d?0???2? 0???? ????2? （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） ??0???I??2??f(x,y)dxdy?D1????计算步骤及注意事项 f(x,y)对于x是奇函数，即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f(?x,y)?f(x,y)D1是D的右半部分P141—例2 应用该性质更方便 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 (1) 利用直角坐标?投影?投影法?截面法ba y2(x)f(x,y,z)dV??dx?????y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz P159—例1 P160—例2 ?x?rcos??（2） 利用柱面坐标 ?y?rsin? ?z?z?相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x?y)f(x?z) ○2222I????f(x,y,z)dv?P161—例3 空间立体物的质量 质量=密度?面积 ????f(x,y,z)dV??dz?d??ab?r2(?)?r1(?)f(?cos?,?sin?,z)?d? ?x??cos??rsin?cos??（3）利用球面坐标 ?y??sin??rsin?sin? ?z?rcos??dv?r2sin?drd?d? 适用范围: 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，f(x?y?z) ○222P165—10-(1) I??d??d???1?1?2?2?2(?,?)?1(?,?)f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d? （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

第十一章 总结

曲线积分与曲面积分 积分类型 第一类曲线积分 计算方法 典型例题 参数法（转化为定积分） （1）L:y??(x) I?（b???f(?(t),?(t))?'2(t)??'2(t)dt ?x??(t)L:?(??t??) ?y??(t)I??f(x,y)ds L2）2曲形构件的质量 质量=线密度?弧长 I??f(x,y(x))1?y'(x)dx aP189-例1 P190－3 （3）r?r(?)??x?r(?)cos? (?????)L:??y?r(?)sin?I??f(r(?)cos?,r(?)sin?)r2(?)?r'2(?)d? ? 平面第二类曲线积分 （1） 参数法（转化为定积分） ?x??(t)L:?(t单调地从?到?) ?y??(t)?LPdx?Qdy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt ??P196-例1、例2、例3、例4 （2）利用格林公式（转化为二重积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数 结论：?LPdx?Qdy???(D?Q?P?)dxdy ?x?yI??Pdx?Qdy L?满足条件直接应用?应用：?有瑕点，挖洞 ?不是封闭曲线，添加辅助线?（3）利用路径无关定理（特殊路径法） 等价条件：①?Q??P ②?x?y③P205－例4 P214-5(1)(4) 变力沿曲线所做的功 ?Pdx?Qdy?0 L?LPdx?Qdy与路径无关，与起点、终点有关 P211-例5、例6、例7 ④Pdx?Qdy具有原函数u(x,y) （特殊路径法，偏积分法，凑微分法） （4）两类曲线积分的联系 I??Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds LL 空间第二类曲线积分 （1）参数法（转化为定积分） ? ?Pdx?Qdy?Rdz??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t) ?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?? ?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dtI??Pdx?Qdy?Rdz L（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论 变力沿曲线所做的功 P240-例1 ：