《备战2020年高考》专题03导数及其应用-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文）（解析版）

专题03 导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为

A．x?y???1?0 C．2x?y?2??1?0 【答案】C 【解析】

B．2x?y?2??1?0 D．x?y???1?0

y??2cosx?sinx,?y?x?π?2cosπ?sinπ??2,

则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??)，即2x?y?2??1?0． 故选C．

【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线y?aex?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A．a?e，b??1 C．a?e?1，b?1 【答案】D

【解析】∵y??ae?lnx?1,

∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1， 将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1. 故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

x

B．a=e，b=1 D．a?e?1，b??1

?x,x?0?3．【2019年高考浙江】已知a,b?R，函数f(x)??131．若函数y?f(x)?ax?b2x?(a?1)x?ax,x?0?2?3恰有3个零点，则 A．a<–1，b<0 C．a>–1，b<0

B．a<–1，b>0 D．a>–1，b>0

1

【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x ， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；

当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，

y??x2?(a?1)x，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：

＞

∴＜0且 ， ＜

解得b＜0，1﹣a＞0，b＞ （a+1）3，

则a>–1，b<0. 故选C．

【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．

2

4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线y?3(x?x)e在点(0，0)处的切线方程为____________． 【答案】3x?y?0

【解析】y??3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e, 所以切线的斜率k?y?|x?0?3，

则曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为y?3x，即3x?y?0．

【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 5．【2019年高考天津文数】曲线y?cosx?【答案】x?2y?2?0

2xx2x2x2xx在点(0,1)处的切线方程为__________. 21， 211∴y?|x?0??sin0???，

221故所求的切线方程为y?1??x，即x?2y?2?0.

2【解析】∵y???sinx?【名师点睛】曲线切线方程的求法：

（1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

?y0?f(x0)?（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组?y1?y0得切点(x0，y0)，

?(x0)?f?x?x?10进而确定切线方程．

6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y?x?线x?y?0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由y?x?4(x?0)上的一个动点，则点P到直x44(x?0)，得y??1?2， xx3

设斜率为?1的直线与曲线y?x?44(x?0)切于(x0,x0?)，

x0x由1?4??1得x0?2（x0??2舍去）， 2x0∴曲线y?x?故答案为4．

4(x?0)上，点P(2,32)到直线x?y?0的距离最小，最小值为x2?321?122?4.

【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

7．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过

点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点A?x0,y0?，则y0?lnx0. 又y??1， x1， x01(x?x0)， x0当x?x0时，y??则曲线y?lnx在点A处的切线为y?y0?即y?lnx0?x?1， x0?e?1， x0将点??e,?1?代入，得?1?lnx0?即x0lnx0?e，

考察函数H?x??xlnx，

当x??0,1?时，H?x??0，当x??1,???时，H?x??0，

4