令 ， 则
，
所以 在 上单调递减.
由于 ， ，所以存在 满足 ，即 .
当 时， ， ；当 时， ， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 ， 因为
，所以 ，
所以 ， 所以 .
【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
30．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知函数 有两个极值点 ， .
（1）求 的取值范围； （2）求证： . 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】（1）因为 ，
所以 ， 令 ，则 ， 当 时，不成立； 当 时，令g?x??2x?x， aex， xe1?x所以g??x??x，
e当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 又因为g?1??1， e当 时， ，当 时， ，
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因此，当0?21?时， 有2个极值点， ae即 的取值范围为 .
x??2e1?ax1（2）由（1）不妨设 ，且?，
x2??2e?ax2
所以 ，所以 ，
要证明 ，
只要证明 ，
即证明2ln??x2?x2x1???， x?1?x1x2设
x2?t(t?1)， x1
即要证明 在 上恒成立， 记h?t??2lnt?t?(t?1)，
1th??t??21?t?2t?1?1?2??2ttt2??t?1?t22?0，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，即 .
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.
31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数 e ，其中 ．
（1）当 为偶函数时，求函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上有两个零点，求 的取值范围． 【答案】（1）极小值 ，极大值 ；（2） e 【解析】（1）由函数 是偶函数，得 ， 即 e e 对于任意实数 都成立， 所以 . 此时 ，
e
或 e .
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则 .
由 ，解得 . 当x变化时， 与 的变化情况如下表所示：
0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 所以 有极小值 ，极大值 . （2）由 e ，得
e
. e
所以“ 在区间 上有两个零点”等价于“直线 与曲线 个公共点”.
对函数 求导，得
e
， 有且只有两
.
由 ，解得 ， .
当x变化时， 与 的变化情况如下表所示：
0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 又因为 e ， e， 所以当 e 即当 e
e e
e
，
e
e
，
或 e 时，直线 与曲线
， 有且只有两个公共点.
或 e 时，函数 在区间 上有两个零点.
【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
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（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.
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