含有绝对值的不等式的解法

选修4-5 不等式选讲

课 题： 含有绝对值的不等式的解法

目的要求：理解定理||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，弄清取等号的条件，理解定理的几何意义：三角形任意两边之差小于第三边，两边之和大于第三边；能应用定理解决一些基本问题。

重点难点： 对于定理的理解和应用。 教学设计： 一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.

请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

?x，如果x?0?x??0，如果x?0。

??x，如果x?0?2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式x?a的解集是

{x|?a?x?a}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开

区间（－a，a），如图所示。

?a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a}

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间

(??,?a),(a,?)的并集。如图1-2所示。

–a a

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图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、范例分析：

例1、解不等式3x?1?x?2。

例2、解不等式3x?1?2?x。

方法1：分域讨论

★方法2：依题意，3x?1?2?x或3x?1?x?2，（为什么可以这么解？）

例3、解不等式2x?1?3x?2?5。 例4、解不等式x?2?x?1?5。

解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）?2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x?4或x??1.

例5、不等式 x?1?x?3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

三、小结：

四、练习：解不等式

1、 22x?1?1. 2、41?3x?1?0 3、 3?2x?x?4. 4、 x?1?2?x. 5、 x2?2x?4?1 6、 x2?1?x?2. 7、 x?x?2?4 8、 x?1?x?3?6. 9、 x?x?1?2 10、 x?x?4?2.

五、作业：

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