高中数学第二章圆锥曲线与方程2 - 2 - 2 - 1双曲线的简单几何性质课时达标训练含解析新人教A版选修1 - 1

2.2.2.1 双曲线的简单几何性质

课时达标训练

1.设双曲线A.4

-

=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 ( )

B.3

C.2

D.1

【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,故可知a=2.

2.双曲线A.1

-

=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为 ( ) B.

C.2

D.2

【解析】选C.由已知焦点在x轴上,所以m>0.所以m+3m=4,m=1.所以双曲线的实轴长为2.

3.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为

( )

A. B. C. D.2

【解析】选A.由已知椭圆的离心率为,得=,所以a=4b.所以e=

222

==.所以双曲线的离心率e=

2

2

.

4.已知双曲线方程为8kx-ky=8,则其渐近线方程为 . 【解析】由已知令8kx-ky=0,得渐近线方程为y=±2答案:y=±2

x

2

2

x.

5.双曲线与椭圆为 .

+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线的方程

【解析】由椭圆方程得焦点为(0,±4得双曲线焦点在y轴上,且c=4

.

),

由渐近线为y=x得a=b, 所以a=b=2

,

方程为-=1.

答案:-=1

6.根据下列条件,求双曲线的标准方程.

(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).

(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).

【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),

将点(-3,2)代入得λ=,

所以双曲线方程为-=,

即-=1.

(2)设双曲线方程为由题意易求c=2

.

-=1(a>0,b>0).

又双曲线过点(3又因为a+b=(2

2

2

,2),所以

2

2

2

-=1.

),所以a=12,b=8.

故所求双曲线的方程为-=1.

【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使

|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围.

【解析】由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示,又因为 |PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即 |AF2|≤2a,所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,所以c≤3a.又因为c>a,所以a

1<≤3,即1