10．(2018·威海)如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕，已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF＝3＋1.求BC的长．
解：由题意，得∠3＝180°－2∠1＝45°，∠4＝180°－2∠2＝30°，BE＝EK，KF＝FC. 过点K作KM⊥EF，垂足为M.
设KM＝x，则EM＝x，MF＝3x， ∴x＋3x＝3＋1，解得x＝1. ∴EK＝2，KF＝2.
∴BC＝BE＋EF＋FC＝EK＋EF＋KF＝3＋2＋3， 即BC的长为3＋2＋3.
考点4 利用轴对称求最短路径
11．(2018·新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)
A. B．1 C.2 D．2
12
12．(2018·泸州)如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线．若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．
13．(2017·菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(B)
A．(0，) B．(0，) C．(0，2) D．(0，)
4353103
5
14．(2018·遵义)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B，D重合)，折痕为EF.DG＝2，BG＝6，则BE的长为2.8．
15．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；1
再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝BC.则矩形纸片ABCD的面积
3为15．
16．(2017·眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
解：(1)(2)如图．
(3)作点B1关于y轴的对称点B2，连接B2C交y轴于点P，点P即为所求．点P的坐标为(0，2)．
6
第2课时 图形的平移、位似与旋转
重难点1 平移的相关计算
(2018·株洲)如图，点O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．
【思路点拨】 如图，由点B的坐标为(0，22)，且平移后点B′的坐标为(22，22)，可知沿x轴平移的距离为22，且线段OA与平移后的线段O′A′的关系是平行且相等，所以线段OA在平移过程中扫过的部分是平行四边形OO′A′ A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积．
方法指导解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：
①对应线段平行(或共线)且相等； ②对应点的连线平行且相等； ③平移前后的图形全等．
【变式训练1】 如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度．
重难点2 旋转的计算与证明
(2018·烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【思路点拨】 两种思路的出发点相同，都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决．
【自主解答】
7
图1
解：选择思路一，如图1.
∵将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A， ∴BP′＝BP＝2，∠PBP′＝90°，AP′＝PC＝3. ∴PP′＝BP＋BP′＝22，∠P′PB＝45°.
2222
∴AP′＋PP′＝1＋(22)＝9＝AP′. ∴∠APP′＝90°.
∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB ＝135°.
2
2
图2
选择思路二，如图2.
∵将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，
∴BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝1，∠APB＝∠BP′C，∠PBP′＝90°. ∴PP′＝BP＋BP′＝22，∠PP′B＝45°.
22222
∴P′C＋PP′＝1＋(22)＝9＝PC. ∴∠PP′C＝90°.
∴∠APB＝∠BP′C ＝∠PP′B＋∠PP′C ＝135°.
方法指导图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几点： ①找准旋转中的“变”与“不变”； ②找准旋转前后的“对应关系”；③充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系．如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为60°的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．
【变式训练2】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是(B)
A．50° B．60° C．70° D．80°
2
2
【变式训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(A)
A.7 B．22 C．3 D．23
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