上海市宝山区2018-2019学年度高一下学期期末数学试题

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令??t??3，因为t?R，所以??R,

则y?1533cos2??sin??cos? 2223351m?1?m2?， 222令m?cos??[?1,1]，则y?f(m)?m2?? 只需求出f(m)?m2?33m?51?m2?1的最大值，

222 f?(m)?2m?335m?，

2221?m3， 2令f?(m)?0，则m????3?3???? 当m???1,?此时f(m)单调递增，当m?? ???时，f(m)?0，??2,1??时，f(m)?0，2????此时f(m)单调递减，

?3?15? f(m)max?f???2???4.

??? 函数y?【点睛】

本题主要考查了利用三角函数的部分图象求解析式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题.

20．（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）m??【解析】 【分析】

22（1）①根据题意需要判断1?x?2|x|的真假即可② 根据题意判断1?tany?4|tany|1?315?11?15f(x?)?f(x?)?f(x?)?x?R?的最大值为.

446222422245；（3）存在. 2是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出x0的范围，由存在性问题成立转化为

(sin2x0?2sinx0)max? (t0?1?m)max，根据函数的性质求最值即可求解. t0答案第15页，总18页

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【详解】

（1）①因为1?x2?2x，1?x2??2x成立, 所以1?x?2|x|，故x2?x?R?，0具有“性质2”

6②因为

?12?y?2?43?3，设t?tany，则?t?1 (0,2]

设f(t)?t?4t?1， 对称轴为t?2，

所以函数f(t)?t?4t?1在t?(23?3 ,1)上单调递减，当t?1时，f(t)min??2?0，

6所以当

?122?y??4时，1?tany?4tany?0不恒成立，

2即1?tany?4|tany|不成立， 故tany（

?12?y??4），0不具有“性质4”.

（2）因为sinx0，1具有“性质2”

22?2|sinx0?1||1?sinx0| 所以(1?sinx0)(1+1）22化简得(1?sinx0)?(1?sinx0)

解得

3??x0??或x0?2? . 413?1sin2x?2sinx?t??m?0成立， ,2?]及t0?[,2]，使得因为存在x0?[000t042所以存在x0?[可.

2令y?sin2x0?2sinx0，则y??2cos2x0?2cosx0?2(2cosx0?cosx0?1)，

113?,?]{2?} 及t0?[,2]使(sin2x0?2sinx0)max? (t0??m)max即

t042当x0?[3?,?]时，y??0， 4答案第16页，总18页

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所以y?sin2x0?2sinx0在x0?[3?,?]上是增函数， 4所以x0??时，(sin2x0?2sinx0)max?0，当x0?2?时，sin2x0?2sinx0=0， 故x0?[3?,?]{2?}时，(sin2x0?2sinx0)max?0 411?m在[,1]上单调递减，在[1,2] 上单调递增，

2x因为y?x?所以(t0?15?m)max=?m， t02故只需满足0?55?m即可，解得??m. 2222（3）假设具有“性质2018”，则(1?xi)(1?xj)?2018?xi?xj?1?xixj， 即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数xi,xj,满足：

(1?xi2)(1?xj2)?2018?xi?xj?1?xixj.

证明： 由

x1?x1?1?xix1?1?x2i|1?x2j??2x1?xj?x2jxj?xjxj?1?x??1?x?2i2j?xjx2?22， 1?xi1?xj令xi?tan?，由万能公式知

xi1?11??sin2???,?， 2?1?xi2?22?将??11?11?,?等分成2018个小区间，则sin2a1,sin2a2,22?22?1,sin2a2019这2019个数必然2有两个数落在同一个区间，令其为：

11111sin2?,sin2?，即sin2??sin2??，

22201822???，x2019这2019个数中，x2，也就是说，在x1，一定有两个数满足

22xixi1??， 1?xi21?xi22018即一定存在两个实数xi,xj，满足(1?xi)(1?xj)?2018?xi?xj?1?xixj， 从而得证. 【点睛】

本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万

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能公式，考查了创新能力，属于难题.

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