中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）

? -2217?b??1且?b?3，解得??b? 3333.…………………….14分

20．(本小题满分14分) 解（Ⅰ）

f(1)?a?b?0?a?b，

aa2?2lnx， ?f ?(x)?a?2?. xxx? f(x)?ax?要使函数f(x)在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,??)内， ① 当a?0时，f?(x)??2?0在定义域(0,??)内恒成立， x

此时函数f(x)在其定义内为单调递减函数，满足题意；

?a?②当a?0时，要使f ?(x)a?a21121??a(?)?a??0成立，则恒x2xxaa1?0，解得a?1；此时函数f(x)在其定义内为单调递增函数，满足题意； aa2③ 当a?0时，f ?(x)?a?2??0恒成立；此时函数f(x)在其定义内为单调

xx递减函数，满足题意；

综上所述，实数a的取值范围是(??,0]?[1,??)； （注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）

2（Ⅱ）由题意知f?(1)?0，可得a?a?2?0，解得a?1，所以f?(x)?(?1)

…………………….4分

1x于是an?1?f(/12)?n?1?an?n?1n2a?2nn?a，1下面用数学归纳法证明

an?2n?2成立，数学归纳法证明如下：

（i）当n?1时，a1?4?2?1?2，不等式成立；

（ii）假设当n?k时，不等式ak?2k?2成立，即ak?2k?2成立，

则当n?k?1时，ak?1?ak(ak?2k)?1?(2k?2)?2?1?4k?5?2(k?1)?2，

高三数学（理科） 第5页（共6页）

所以当n?k?1时，不等式也成立，

由（i）（ii）知?n?N时都有an?2n?2成立 （Ⅲ） 由（Ⅱ）得

（?n?N*,n?2） an?an?1(an?1?2n?2)?1?an?1[2(n?1)?2?2n?2]?1?2an?1?1，于是an?1?2(an?1?1)， （?n?N*,n?2）成立，

所以a2?1?2(a1?1)，a3?1?2(a2?1),...，an?1?2(an?1?1)成立 累乘可得：an?1?2n?1(a1?1)，则

* . …………………….8分

111成立，（?n?N*,n?2） ?n?1an?12(a1?1)所以

11111111212???...??(1??2?...?n?1)?(1?n)?. 1?a11?a21?a31?an1?a1222525 高三数学（理科） 第6页（共6页）