数学选修2-3第一章计数原理习题集(附答案解析)

选修2-3 第一章章节习题集

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、课时过关

能力提升 ·

1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12

B.28

C.32

D.640

解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C

2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A.60

B.48

C.36

D.24

解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B. 答案:B

3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( ) A.8

B.15

C.35

5

D.53

解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有3种不同的发送方法. 答案:C

4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19

B.20

C.21

D.22

解析:当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D

5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种

B.40种

C.20种

D.10种

解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10 种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×2=20种情况. 答案:C

6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A.81种

B.12种

C.7种

D.256种

解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A

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7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A.280种 C.180种

B.240种 D.96种

解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B. 答案:B

8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A.360

B.240

C.120

D.60

解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C

9.圆周上有2n个等分点(n大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .

解析:先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共有2n(n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n(n-1)

10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .

解析:由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:19

11.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有 种不同的传递方法.

解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:6

12.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?

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解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.

13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?

解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.

14.用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数? (1)三位整数;

(2)无重复数字的三位整数;

(3)小于500的无重复数字的三位整数; (4)小于100的无重复数字的自然数. 解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.

(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.

(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.

(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.

(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.

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1.2 排列与组合

1.2.1 排列

一、课时过关

能力提升 ·

1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆

=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线焦点在x轴上的双曲线方程?

上面四个问题属于排列问题的是( ) A.①②③④ C.②③

B.②④ D.①④

,∴②是排列问题;若方程

=1表

=1中的a,b,可以得到多少个

解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如

示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a

x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题. 答案:B

2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( ) A.66种

B.36种

C.

种 种排法.

D.12种

解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有答案:C

3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为 A.

B.

C.

( ) D.

解析:由排列数公式,答案:D

=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.

4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( ) A.12种

B.16种

C.24种

D.32种

=24种坐法.

解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有答案:C

5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8

解析:个位数字有答案:C

6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( ) A.

B.

C.

D.

B.24

C.48

D.120

种排法,从而共

=48个不同的四位偶数.

种排法,十位、百位、千位有

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