解析:由
n
的展开式中各项系数之和为128可得2=128,n=7.其通项
Tk+1=(3x)7-k答案:C 2.A.第8项 B.第9项
C.第8项、第9项
=(-1)k·37-k
,令7-=-3,解得k=6,此时T7=.
的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )
D.第11项、第12项 解析:
展开式中的第8项为
)n-7
为常数,即
=0,解得n=21.
故展开式中系数最大的项为第11项、第12项. 答案:D
3.若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为( ) A.5
B.8
C.10
D.15
1010n10
解析:(7a+b)展开式的二项式系数之和为2,令x=1,y=1,则由题意知,4=2,解得n=5.
答案:A
4.已知+2+22+…+2n=729,则A.64
B.32
C.63
的值等于( )
D.31
=32.
nn
解析:由已知(1+2)=3=729,解得n=6.则
答案:B
5.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为( ) A.8
B.9
C.10
D.11
nn+1
解析:由题意知(1+1)(3-1)=1 024,即2=1 024,
故n=9. 答案:B
6.若(1-2x)2 015=a0+a1x+…+a2 015x2 015(x∈R),则A.2
B.0
C.-1 +…+
=0,故+…+
的值为( ) D.-2 +…+
=-1.
解析:令x=0,则a0=1,令x=,则a0+答案:C
7.(x+1)9按x的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A.第4项和第5项 C.第5项和第6项
B.第5项 D.第6项
解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C
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8.在(a-b)10的二项展开式中,系数最小的项是 .
解析:在(a-b)的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T6=
55
答案:-252ab
10
a5(-b)5=-252a5b5.
9.设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11= . 解析:∵(x-1)的展开式的通项为Tk+1=
21
x21-k(-1)k,
=-=0.
∴a10+a11=答案:0 10.若(2x+
(-1)11+(-1)10=-
)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 .
)4,
解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4=1. 答案:1
)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+
11.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,求: (1)各项系数之和;
(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.
1010
解:(1)各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-3)=(-1)=1.
(2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+…+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9. 由(1)知a0+a1+a2+…+a10=1,
①
②
;
10
令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=5,
①+②得,2(a0+a2+…+a10)=1+510,则奇数项系数的和为①-②得,2(a1+a3+…+a9)=1-510,则偶数项系数的和为12.已知(
.
+3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
nn
解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)=4.
展开式二项式系数和为
nn
由题意有4-2=992.
n2nnn
即(2)-2-992=0,(2-32)(2+31)=0,
+…+
=2n,
解得n=5.
(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项, 它们是T3=T4=
)3·(3x2)2=90x6,
)2(3x2)3=270
.
(2)设展开式中第k+1项的系数最大. 由Tk+1=
)5-k·(3x2)k=
3k
,
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得
?
?≤k≤.
34
=405
.
因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=
13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
(1)求第20行中从左到右的第4个数;
(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.
*
试用含有m,k(m,k∈N)的数字公式表示上述结论,并给予证明.
解:(1)
(2)
=1 140.
+…++…+
,证明如下:
+…+
=…=
=
左边=右边.
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